Русская Википедия:Расширение поля
Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе) <math>K</math> — поле <math>E</math>, содержащее данное поле <math>K</math> в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.
Базовые определения
Шаблон:Falseredirect Если <math>E</math> — поле, его подполе — это его подмножество <math>K</math>, замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле <math>E</math>. В этом случае <math>E</math> называется расширением поля <math>K</math>, заданное расширение обычно обозначают <math>E\supset K</math> (также используются обозначения <math>E/K</math> и <math>K\subset E</math>). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения <math>E\supset K</math> эквивалентно заданию гомоморфизма <math>f:K\to E</math>.
Если задано расширение <math>E\supset K</math> и подмножество <math>S</math> поля <math>E</math>, то наименьшее подполе <math>E</math>, содержащее <math>K</math> и <math>S</math>, обозначается <math>K(S)</math> и называется полем, порождённым множеством <math>S</math> над полем <math>K</math>. Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.
Для любого расширения <math>E\supset K</math> <math>E</math> является векторным пространством над полем <math>K</math>. В этой ситуации элементы <math>E</math> можно понимать как «векторы», а элементы <math>K</math> — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле <math>E</math>. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается <math>[E:K]</math>. Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.
Примеры
Поле комплексных чисел <math>\mathbb C</math> является расширением поля действительных чисел <math>\mathbb R</math>. Это расширение конечно: <math>[\mathbb C:\mathbb R]=2</math>, так как <math>(1,i)</math> является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.
Множество <math>\{a+b\sqrt 2\mid a,b\in\mathbb Q\}</math> является расширением поля <math>\mathbb Q</math>, которое, очевидно, является простым. Конечные расширения <math>\mathbb Q</math> называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.
Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена <math>f(x)</math> — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному <math>f(x)</math>. Например, пусть поле <math>K</math> не содержит корня уравнения <math>x^2=-1</math>. Следовательно, многочлен <math>x^2+1</math> является неприводимым в <math>K</math>, следовательно, идеал <math>(x^2+1)</math> — максимальный, а значит факторкольцо <math>K[x]/(x^2+1)</math> является полем. Это поле содержит корень уравнения <math>x^2+1=0</math> — образ многочлена <math>x</math> при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.
Алгебраичность и трансцендентность
Пусть <math>E</math> — расширение поля <math>K</math>. Элемент <math>E</math> называется алгебраическим над <math>K</math>, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в <math>K</math>. Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения <math>\mathbb C\supset\mathbb R</math> мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению <math>x^2+1=0</math>.
Особенно важен частный случай расширений <math>\mathbb C\supset\mathbb Q</math>: термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.
Если каждый элемент расширения <math>E\supset K</math> является алгебраическим над <math>K</math>, <math>E\supset K</math> называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.
Подмножество <math>S</math> поля <math>E</math> называется алгебраически независимым над <math>K</math>, если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в <math>K</math>, такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из <math>S</math> получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество <math>S</math>, такое что <math>E\supset K(S)</math> является алгебраическим расширением. Множество <math>S</math>, удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.
Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы <math>E\supset K</math>, являющиеся алгебраическими над <math>K</math> — это сами элементы <math>K</math>.
Расширения Галуа
Алгебраическое расширение <math>E\supset K</math> называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен <math>f(x)</math> над <math>K</math>, имеющий хотя бы один корень в <math>E</math>, разлагается в <math>E</math> на линейные множители.
Алгебраическое расширение <math>E\supset K</math> называется сепарабельным, если каждый элемент <math>E</math> является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.
Для любого расширения <math>E\supset K</math> можно рассмотреть группу автоморфизмов поля <math>E</math>, действующих тождественно на поле <math>K</math>. Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.
Для расширения <math>E\supset K</math> часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя <math>E</math>, содержащие <math>K</math>). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — т. 1. — М.: ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
- P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.
