Русская Википедия:Расширенная числовая прямая
Шаблон:Эта статья Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел <math>\R</math>, дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: <math>+\infty</math> (положительная бесконечность) и <math>-\infty</math> (отрицательная бесконечность), то есть <math>\overline \R = \R \cup \{ +\infty; -\infty\}=[-\infty; +\infty]</math>. Следует понимать, что <math>-\infty,+\infty</math> не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы <math>-\infty</math> и <math>+\infty</math> считаются неравными друг другу.Шаблон:Sfn
При этом для любого вещественного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> по определению полагают выполненными неравенства <math>-\infty < x < +\infty</math>. В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.Шаблон:Sfn
Знак плюс для элемента <math>+\infty</math> часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как <math>\pm\infty</math>.
Порядок
Множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> линейно упорядоченно по отношению <math>\leqslant</math>. Однако в <math>\mathbb{R}</math> нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы <math>\overline{\mathbb{R}}</math> как раз состоит в добавлении максимального (<math>+\infty</math>) и минимального (<math>-\infty</math>) элементов.
Благодаря этому в системе <math>\overline{\mathbb{R}}</math> всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и <math>+\infty</math>, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math>.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.
- <math>(\alpha,\beta) = \{x \in \overline \R \colon \alpha < x < \beta\}</math> — интервал
- <math>(\alpha, \beta] = \{ x \in \overline \R \colon \alpha < x \leq \beta\}</math>, <math>[\alpha, \beta) = \{ x \in \overline \R \colon \alpha \leq x < \beta\}</math> — полуинтервал
- <math>[\alpha, \beta] = \{ x \in \overline \R \colon \alpha \leq x \leq \beta\}</math> — отрезок
Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.Шаблон:Sfn
Топология
Отношение порядка <math><</math> порождает топологию <math>\tau</math> на <math>\overline{\mathbb{R}}</math>. В топологии <math>\tau</math> открытыми промежутками являются промежутки вида:
- <math>(\alpha,\beta) = \{x \in \overline \R \colon \alpha < x < \beta\}</math>
- <math>(\alpha, +\infty] = \{ x \in \overline \R \colon x > \alpha\}</math>
- <math>[-\infty, \beta) = \{ x \in \overline \R \colon x < \beta\}</math>
- <math>[-\infty, +\infty] = \{ x \in \overline \R\}</math>
где <math>\alpha, \beta \in \overline \R</math>. Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.
Окрестности
Окрестностью <math>U(a)</math> точки <math>a \in \overline \R</math> называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии <math>\tau</math>, всякая окрестность точки <math>a</math> включает один из открытых промежутков, содержащий <math>a</math>.
В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие <math>\varepsilon</math>-окрестности <math>U_{\varepsilon} (a)</math> точки расширенной числовой прямой (<math>\varepsilon > 0</math>).
В случае <math>a \in \mathbb{R}</math>, то есть когда <math>a</math> является числом, <math>\varepsilon</math>-окрестностью <math>a</math> называется множество:
- <math>
U_{\varepsilon} (a) \overset{\mathrm{def}}{=} (a - \varepsilon , a + \varepsilon). </math>
Если же <math>a = +\infty</math>, то:
- <math>
U_{\varepsilon} (+\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right], </math> а если <math>a = -\infty</math>, то:
- <math>
U_{\varepsilon} (-\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left[ -\infty, -\frac{1}{\varepsilon} \right). </math>
Понятие <math>\varepsilon</math>-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда <math>a</math> является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа <math>\varepsilon</math> соответствующие окрестности уменьшаются: <math>0 < \varepsilon_1 <\varepsilon_2 \Rightarrow U_{\varepsilon_1}(a) \subset U_{\varepsilon_2}(a)</math>.Шаблон:Sfn
Проколотые окрестности и <math>\varepsilon</math>-окрестности определяются соответственно как окрестность и <math>\varepsilon</math>-окрестность, из которых удалили саму точку.
Пределы
Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечноти. В <math>\overline \R</math> все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).
Пусть <math>f \colon X \to \overline \R</math>, где <math>X \subset \overline \R</math>. В частности, <math>f</math> может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть <math>x_0, a \in \overline \R</math>. Тогда:
- <math>
\lim_{x \to x_0} f(x)=a \overset{\mathrm{def}}{\iff} \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \; (x \in U_{\delta}(x_0) \Rightarrow f(x) \in U_{\varepsilon}(a)) </math>
При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случа тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.
Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в <math>\overline \R</math> равен одной из бесконечностей, то в <math>\widehat \R</math> он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в <math>\widehat \R</math> равен бесконечности, это ещё не значит, что в <math>\overline \R</math> он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же <math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}</math> в <math>\widehat \R</math> равен бесконечности, а в <math>\overline \R</math> он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в <math>\widehat \R</math> равен бесконечности равен бесконечности тогда и только тогда, когда в <math>\overline \R</math> он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.
Компактность
<math>\overline \R</math> — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел <math>\R</math> является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел <math>\overline \R</math> может рассматриваться как двухточечная компактификация <math>\R</math>.Шаблон:Sfn При этом <math>\overline \R</math> оказывается гомеоформным отрезку <math>[0,1]</math>. Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм <math>f \colon [0,1] \to \overline \R</math> задаётся формулой:
- <math>
f(x) = \begin{cases}-\infty & x = 0 \\ \operatorname{tg} \left( \pi x - \dfrac{\pi}{2} \right) & 0 < x < 1 \\ +\infty & x = 1 \end{cases} </math> В <math>\overline \R</math> теорема Больцано — Вейерштрасса выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в <math>\overline \R</math> существует сходящаяся в <math>\overline \R</math> подпоследовательность. Таким образом, <math>\overline \R</math> секвенциально компактно.
Операции
Для вещественных чисел и элементов <math>\pm\infty</math> определены следующие действия:
<math>\begin{align} a \pm \infty = \pm\infty + a & = \pm \infty, & a & \neq \pm\infty \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & > 0 \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & < 0 \\ \frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & >0 \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & <0 \\ a^{+\infty} & = +\infty, & a & > 1 \\ a^{-\infty} & = +\infty, & 0 & < a < 1 \\ a^{-\infty} & = 0, & a & > 1 \\ a^{+\infty} & = 0, & 0 & \leq a < 1\\ (+\infty)^a & = +\infty, & a & > 0 \\ (+\infty)^a & = 0, & a & < 0 \\ \operatorname{ln}{+\infty} & = +\infty \end{align}</math>
Значение выражений <math>(+\infty) - (+\infty), 0 \times (\pm\infty),\frac00</math>, <math>1^{\pm\infty}</math>, <math>(\pm\infty)^0</math>, <math>0^0</math> не определены.Шаблон:Sfn
Вопреки распространённому мнению, значение выражения <math>\frac{a}{0}</math>, где <math>a \neq 0</math>, тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции <math>\frac{1}{x}</math>. Её предел в нуле слева равен <math>-\infty</math>, а справа <math>+\infty</math>, что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.
Часто встречающаяся запись <math>\frac{a}{0} = \infty</math> или <math>\frac{a}{0}=\pm\infty</math> относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.
Алгебраические свойства
Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла
- <math>a+b=b+a</math>
- <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>
- <math>a\cdot b=b\cdot a</math>
- <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
Следующие равенства верны, если их правая часть определена.
- <math>a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math>
Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл
- если <math>a \leq b</math>, то <math>a + c \leq b + c;</math>
- если <math>a \leq b,~c>0</math>, то <math>a \cdot c \leq b \cdot c.</math>
См. также
Проективно расширенная числовая прямая
Примечания
Литература
