Русская Википедия:Рациональная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:RationalDegree2byXedi.svg

Пример рациональной функции от одной переменной: <math>f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}</math>

Файл:Rational function of two variables.png

Пример рациональной функции от двух переменных

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражениеШаблон:Переход, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Формальное определение

Рациональная функцияШаблон:SfnШаблон:Sfn, или дробно-рациональная функцияШаблон:SfnШаблон:Sfn, или рациональная дробьШаблон:Sfn — это числовая функция вида

<math>\mathbb{U} \to \mathbb{U} : w = R(u),</math>

где <math>\mathbb{U}</math> — комплексные (<math>\C</math>) или вещественные (<math>\R</math>) числа, <math>R(u)</math> — рациональное выражение от <math>u</math>. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)Шаблон:Sfn.

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов <math>P(u)</math> и <math>Q(u)</math>:

<math>R(u) = \frac{P(u)}{Q(u)} = \frac{a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + \cdots + a_n u^n}{b_0 + b_1 u + b_2 u^2 + \cdots + b_m u^m},</math>

где <math>Q(u) \not\equiv 0.</math> Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов <math>P(u)</math> и <math>Q(u)</math>:

<math>a_0, a_1, a_2, \dots, a_n</math> и <math>b_0, b_1, b_2, \dots, b_m</math>Шаблон:Sfn.

Частные случаи

• Целая рациональная функция — функция вида

<math>\R \to \R : y = \frac{P(x)}{1},</math>

где переменная <math>x</math> действительна.

• Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

<math>\C \to \C : w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}.</math>

• Преобразование Кэли

<math>\C \to \C : w = W(z) = \frac{z - i}{z + i}.</math>

• Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

<math>\C \to \C : w = \lambda(z) = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right),</math>

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. ЖуковскимШаблон:Sfn.

Обобщения

• Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

<math>\mathbb{U}^{\max(n, m)} \to \mathbb{U} : w = R(u_1, u_2, \dots, u_{\max(n, m)}) = \frac{P(u_1, u_2, \dots, u_n)}{Q(u_1, u_2, \dots, u_m)},</math>

где <math>Q(u_1, u_2, \dots, u_m) \not\equiv 0</math>Шаблон:Sfn.

• Абстрактные рациональные функции

<math>R = \frac{A_1 F_1 + A_2 F_2 + \cdots + A_n F_n}{B_1 F_1 + B_2 F_2 + \cdots + B_m F_m},</math>

где <math>F_1, F_2, \dots, F_{\max(n, m)}</math> — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, <math>A_1, A_2, \dots, A_n,</math> и <math>B_1, B_2, \dots, B_m</math> — числовые коэффициентыШаблон:Sfn.

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателемШаблон:Sfn.

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математикеШаблон:Sfn.

Шаблон:Начало скрытого блока Сначала докажем, что если произведение многочленов <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> делится на <math>\varphi(x)</math>, причём <math>f(x)</math> и <math>\varphi(x)</math> взаимно просты, то <math>g(x)</math> делится на <math>\varphi(x)</math>Шаблон:Sfn.

1. Известно, что многочлены <math>f(x)</math> и <math>\varphi(x)</math> взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены <math>u(x)</math> и <math>v(x)</math>, что

<math>f(x)u(x) + \varphi(x)v(x) = 1.</math>

2. Умножим это равенство на <math>g(x)</math>:

<math>[f(x)g(x)]u(x) + g(x)[\varphi(x)v(x)] = g(x).</math>

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на <math>\varphi(x)</math>, следовательно, <math>g(x)</math> также делится на <math>\varphi(x)</math>.

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателяШаблон:Sfn.

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\varphi(x)}{\psi(x)},</math>

то есть

<math>f(x)\psi(x) = g(x)\varphi(x).</math>

то:

• из взаимной простоты <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> следует, что <math>\varphi(x)</math> делится на <math>f(x)</math>;
• из взаимной простоты <math>\varphi(x)</math> и <math>\psi(x)</math> следует, что <math>f(x)</math> делится на <math>\varphi(x)</math>.

В итоге получаем, что <math>f(x) = c\varphi(x).</math>

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

<math>c\varphi(x)\psi(x) = g(x)\varphi(x),</math>

или

<math>g(x) = c\psi(x).</math>

Итак, получили, что

<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{c\varphi(x)}{c\psi(x)}.</math>

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дробиШаблон:Sfn.

Шаблон:Начало скрытого блока Докажем последнее утверждениеШаблон:Sfn.

1. Для любой рациональной дроби <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>, поделив числитель на знаменатель, получим:

<math>f(x) = g(x)q(x) + r(x),</math>

причём степень <math>r(x)</math> меньше степени <math>g(x).</math> Поделим обе части равенства на <math>g(x)</math>, получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

<math>\frac{f(x)}{g(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{g(x)}.</math>

2. Докажем единственность этого представления.Если имеет место также следующее равенство:

<math>\frac{f(x)}{g(x)} = q'(x) + \frac{\varphi(x)}{\psi(x)},</math>

где также степень <math>\varphi(x)</math> меньше степени <math>\psi(x)(x)</math>, то произведём вычитание:

<math>q(x) - q'(x) = \frac{\varphi(x)}{\psi(x)} - \frac{r(x)}{g(x)} = \frac{\varphi(x)g(x) - \psi(x)r(x)}{\psi(x)g(x)}.</math>

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень <math>\varphi(x)</math> меньше степени <math>\psi(x)</math>, а степень <math>r(x)</math> меньше степени <math>g(x)</math>, то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда <math>q(x) - q'(x) = 0</math> и

<math>\frac{\varphi(x)}{\psi(x)} - \frac{r(x)}{g(x)} = 0.</math>

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> простейшая, если её знаменатель <math>g(x)</math> представляет собой степень неприводимого многочлена <math>p(x)</math>:

<math>g(x) = p^k(x), k \geqslant 1,</math>

а степень числителя <math>f(x)</math> меньше степени <math>p(x)</math>. Имеют место быть две теоремыШаблон:Sfn.

• Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
• Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

• при интегрированииШаблон:Sfn;
• при разложении в ряд ТейлораШаблон:Sfn;
• при разложении в ряд ЛоранаШаблон:Sfn;
• при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дробиШаблон:Sfn.

Шаблон:Начало скрытого блока Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь <math>\frac{f(x)}{g(x)},</math> гдеШаблон:Sfn:

<math>f(x) = 2x^4 - 10x^3 + 7x^2 + 4x + 3,</math>

<math>g(x) = x^5 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 2.</math>

Решение. 1. Легко проверить, что

<math>g(x) = (x + 2)(x - 1)^2(x^2 + 1),</math>

причём <math>x + 2,</math> <math>x - 1,</math> <math>x^2 + 1</math> неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 1} + \frac{Dx + E}{x^2 + 1}.</math>

Осталось найти числа <math>A</math>, <math>B,</math> <math>C,</math> <math>D</math> и <math>E.</math>

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

<math>f(x) = 2x^4 - 10x^3 + 7x^2 + 4x + 3 =</math>

<math>= A(x - 1)^2(x^2 + 1) +</math>

<math>+ B(x + 2)(x^2 + 1) +</math>

<math>+ C(x + 2)(x - 1)(x^2 + 1) +</math>

<math>+ Dx(x + 2)(x - 1)^2 +</math>

<math>+ E(x + 2)(x - 1)^2.</math>

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными <math>A</math>, <math>B,</math> <math>C,</math> <math>D</math> и <math>E,</math> приравняв коэффициенты при одинаковых степенях <math>x</math> из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве <math>x = -2,</math> получаем <math>45A = 135,</math> откуда <math>A = 3.</math> Полагая <math>x = 1,</math> получаем <math>6B = 6,</math> то есть <math>B = 1.</math> Полагая независимо <math>x = 0</math> и <math>x = -1,</math> получаем систему

<math>\left\{ \begin{array}{rcl}

-2C + 2E = -2,\\ -4C - 4D + 4E = -8.\\ \end{array}\right.</math> Отсюда <math>D = 1.</math> Положим <math>x = 2,</math> получаем <math>20C + 4E = -52.</math> Возникает система

<math>\left\{ \begin{array}{rcl}

-2C + 2E = -2,\\ 20C + 4E = -52,\\ \end{array}\right.</math> откуда <math>C = -2,</math> <math>E = -3.</math> Таким образом,

<math>\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{2}{x - 1} + \frac{x - 3}{x^2 + 1}.</math>

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных <math>x_1,\dots,x_n</math> с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения <math>(x-a)^k</math> (<math>a</math> — вещественный корень <math>Q(x)</math>) либо <math>(x^2+px+q)^k</math> (где <math>x^2+px+q</math> не имеет действительных корней), причём степени <math>k</math> не больше кратности соответствующих корней в многочлене <math>Q(x)</math>. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Рациональное уравнение
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций

Литература

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H