Русская Википедия:Рациональные тригонометрические суммы
Рациональные тригонометрические суммы — комплексные суммы особого вида, которые могут использоваться при доказательстве теорем аналитической теории чисел
Определение
Рациональными тригонометрическими суммами называются суммы вида <math>{S_{\varphi}}(q) = \sum \limits_{x=1}^{q} {e^{2 \pi i \frac{\varphi(x)}{q}}}</math>, где <math>\varphi(x) = \sum \limits_{k=0}^{n} {a_k x^k}</math> — многочлен с целыми коэффициентами, причём <math>(a_0, \dots, a_n, q) = 1</math> (при нетривиальном наибольшем общем делителе дробь можно сократить и привести к общему виду).
Некоторые оценки
При оценке рациональных тригонометрических сумм в математике рассматривают, как правило, верхнюю оценку на модуль суммы, так как его значительно проще оценивать. В связи с этим принимается, что <math>a_0=0</math>, так умножение такой суммы на <math>e^{2 \pi i a_0}</math> не изменяет её абсолютной величины.
Частные случаи
Линейные суммы
Если <math>\varphi(x) = ax</math>, то, пользуясь нотацией Айверсона, можно указать, что <math>{S_{\varphi}}(q) = q [{q \mid a}]</math>. Доказательство этого факта тривиально следует из того, что сумма корней из единицы по любому целому основанию нулевая. Такие суммы называются линейными.
Суммы Гаусса (квадратичные)
Рациональные тригонометрические суммы над многочленами вида <math>\varphi(x) = a x^2</math> называются суммами Гаусса.
Для таких сумм известны точные значения абсолютной величины, а именно
- <math>|{S_{\varphi}}(q)| =
\begin{cases} \sqrt{q}, & q \equiv 1 \mod 2 \\ \sqrt{2q}, & q \equiv 0 \mod 4 \\ 0, & q \equiv 2 \mod 4 \end{cases} </math>
Общие оценки
Далее для удобства изложения примем <math>n = \deg \varphi</math>.
Хуа вывел оценку <math>|{S_{\varphi}}(q)| < c(n) q^{1-\frac{1}{n}}</math>, где <math>c(n)</math> — константа, зависящая только от <math>n</math>. То есть <math>|{S_{\varphi}}(q)| = O(q^{1-\frac{1}{n}})</math> при фиксированном <math>n</math>.[1]
Если <math>\varphi(x) = a x^n</math>, то при простом <math>q>2</math> верна более точная оценка <math>|{S_{\varphi}}(q)| \le (n-1) \sqrt{q}</math>.[2]
Частичные линейные суммы
Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можно вывести, что для <math>\varphi(x) = \frac{ax}{q}</math> выполнено
<math>\left\vert{\sum \limits_{x=1}^{m} {e^{2 \pi i \varphi(x)}}}\right\vert = \left\vert{\frac{e^{2 \pi i \frac{a}{q}} - e^{2 \pi i \frac{a(m+1)}{q}}}{1 - e^{2 \pi i \frac{a}{q}}}}\right\vert \le \frac{2}{\min\left({\left\lbrace{\frac{a}{q}}\right\rbrace, 1 - \left\lbrace{\frac{a}{q}}\right\rbrace}\right)}</math>,
где <math>\left\lbrace{x}\right\rbrace</math> означает дробную часть числа <math>x</math>.
Невозможность некоторых нетривиальных оценок
А. А. Карацуба доказал[3], что при <math>n > \left({\frac{1}{2 \log{2}} - \varepsilon}\right) \frac{p}{\log{p}},\ \varphi(x) = a x^n</math> существует бесконечно много простых <math>p</math>, для которых <math>|S_{\phi}(p)| > \left({1 - \delta(\varepsilon)}\right) p</math>, где <math>\delta(\varepsilon) \to 0</math> при <math>\varepsilon \to 0</math>, то есть при таких <math>n</math> для соответствующих тригонометрических сумм невозможны оценки сверху, необходимые для большинства приложений.
Применение
В первом доказательстве квадратичного закона взаимности (Гаусс, 1795) использовались суммы Гаусса над многочленом вида <math>\varphi(x) = \frac{a x^2}{q}</math>.
Виноградов с помощью рациональных тригонометрических сумм вывел приближённое описание распределения квадратичных вычетов и невычетов[2].
Рассматриваемые суммы могут также находить применение при доказательстве проблемы Варинга методами аналитической теории чисел.
История
Тригонометрические суммы впервые применил Гаусс в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности.
См. также
Примечания
