Русская Википедия:Ребро (геометрия)
Три ребра AB, BC и CA, каждое из которых соединяет две вершины треугольника. |
Файл:Square (geometry).svg Многоугольник, ограниченный рёбрами (в данном случае — квадрат, имеющий 4 ребра). |
| Файл:Hexahedron.png Каждое ребро является общим для двух граней многогранника, в данном случае, куба. |
Файл:Hypercube.svg Любое ребро является общим для трёх и более граней четырёхмерного многогранника, как видно на этой проекции тессеракта. |
Ребро в геометрии — отрезок, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника (в размерностях 3 и выше)Шаблон:Sfn. В многоугольниках ребро является отрезком, лежащим на границе[1] и чаще называется стороной многоугольника. В трёхмерных многогранниках и в многогранниках большей размерности ребро — это отрезок, общий для двух граней[2]. Отрезок, соединяющий две вершины и проходящий через внутренние или внешние точки, ребром не является и называется диагональю.
Связь с рёбрами графа
Любой многогранник может быть представлен его рёберным Шаблон:Не переведено 5, то есть графом, вершинами которого служат геометрические вершины многогранника, а рёбра графа соответствуют геометрическим рёбрамШаблон:Sfn. И обратно, графы, являющиеся скелетами трёхмерных многогранников по теореме Штайница — то же самое, что вершинно k-связные планарные графыШаблон:Sfn.
Число рёбер в многограннике
Любая поверхность выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
- <math>V - E + F = 2,</math>
где <math>V</math> — число вершин, <math>E</math> — число рёбер, а <math>F</math> — число граней. Это равенство известно как формула Эйлера. Таким образом, число рёбер на 2 меньше суммы числа вершин и граней. Например, куб имеет 8 вершин и 6 граней, а потому (по формуле) 12 рёбер.
Инцидентность другим граням
В многоугольнике в каждой вершине сходятся два ребра (стороны). По теореме Балинского по меньшей мере <math>d</math> рёбер сходятся в каждой вершине <math>d</math>-мерного выпуклого многогранникаШаблон:Sfn. Аналогично, в трёхмерном многограннике в точности две двумерные грани имеют общее реброШаблон:Sfn, в то время как в многогранниках более высоких размерностей общее ребро могут иметь три и более двумерных граней.
Альтернативная терминология
В теории выпуклых многогранников высоких размерностей (свыше 3) фасета (сторона <math>d</math>-мерного многогранника) — это <math>(d-1)</math>-мерная грань. Таким образом, рёбра (стороны) многоугольника являются также фасетами (для трёхмерных многогранников фасетами будут грани)Шаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга. См., в частности, теорему 3, стр. 176.
- Шаблон:Книга
Ссылки
- Olshevsky, George. «Edge». Glossary for Hyperspace. Архивировано с оригинала 4 февраля 2007.
- Шаблон:Mathworld
- Шаблон:Mathworld
- ↑ Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html Шаблон:Wayback
- ↑ Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html Шаблон:Wayback
.svg){kind=link}
