Русская Википедия:Регулярное семейство распределений

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Регуля́рное семе́йство распределе́ний в математической статистике — это распределения, плотность которых дифференцируема относительно параметра.

Определение

Пусть дано параметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений <math>\{\mathbb{P}_{\theta}\}_{\theta \in \Theta}</math>, где <math>\Theta \subset \mathbb{R}</math>, так что <math>f(x \mid \theta )</math> — плотность вероятности <math>\mathbb{P}_{\theta}</math> для каждого <math> \theta \in \Theta</math>. Тогда это семейство называется регулярным, если существует такое множество <math>D \subset \mathbb{R}</math>, что <math>\mathbb{P}_{\theta}(D) = 1,\quad \forall \theta \in \Theta</math>, и

<math>\forall x \in {D},\quad \sqrt{f(x \mid \cdot)} \in C^1(\Theta)</math>,

то есть <math>\sqrt{f(x \mid \cdot)}</math> непрерывно дифференцируема относительно параметра <math>\theta \in \Theta</math>.

Примеры

• Пусть <math>\Theta = \{\theta > 0\}</math>, и <math>\mathbb{P}_{\theta} = \mathrm{Exp}(\theta)</math> — экспоненциальное распределение с параметром <math>\theta</math>. Тогда

<math>\frac{\partial}{\partial \theta}\sqrt{f(x\mid \theta)} = \left(\frac{1}{2\sqrt{\theta}} - \frac{\sqrt{\theta}x}{2}\right) e^{-\theta x/2} \in C(\Theta).</math>

Следовательно семейство распределений регулярно.

• Пусть <math>\Theta = \{\theta > 0\}</math>, и <math>\mathbb{P}_{\theta} = \mathrm{U}[0,\theta]</math> — непрерывное равномерное распределение на отрезке <math>[0,\theta]</math>. Тогда легко видеть, что <math>D \supset [0,\infty)</math>, и <math>f(x \mid \cdot)</math> разрывна в точке <math>\theta = x</math>. Таким образом семейство распределений нерегулярно.