Русская Википедия:Регулярное число

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Не путать

Файл:Regular divisibility lattice.svg
Диаграмма Хассе показывает делимость отношений между обычными числами до 400. Вертикальный масштаб является логарифмическим[1].

Регулярные числа — это числа, которые равномерно делят степени 60 (или, что эквивалентно, степени 30). Например, 602 = 3600 = 48 × 75, поэтому и 48, и 75 являются делителями степени 60. Таким образом, они являются обычными числами. Эквивалентно, это числа, единственные простые делители которых равны 2, 3 и 5.

Числа, которые равномерно делят степень 60, возникают в нескольких областях математики и её приложений и имеют разные названия, взятые из этих разных областей исследования.

Теория чисел

Формально регулярное число — это целое число вида 2i·3j·5k для неотрицательных целых чисел i, j, и k. Такое число является делителем <math>\scriptstyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil,j,k)}{}</math>. Регулярные числа также называются 5-гладкое, указывая, что их наибольший простой множитель не превосходит 5.

Первые несколько регулярных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, … (Шаблон:OEIS).

Некоторые другие последовательности в OEIS имеют определения, включающие 5-гладкие числа[2].

Хотя регулярные числа кажутся плотными в диапазоне от 1 до 60, они довольно редки среди больших целых чисел. Регулярное число n = 2i·3j·5k меньше или равно N тогда и только тогда, когда точка (i,j,k) принадлежит тетраэдру, ограниченному координатными плоскостями и плоскостью

<math>(\ln 2)i+(\ln 3)j+(\ln 5)k\le\ln N,</math>

как можно увидеть, логарифмируя обе части неравенства 2i·3j·5k ≤ N. Следовательно, количество регулярных чисел, не превышающих N, можно оценить как объём этого тетраэдра, который равен

<math>\frac{\log_2 N\,\log_3 N\,\log_5 N}{6}.</math>

Ещё точнее, используя нотацию «O» большое, количество регулярных чисел до N равно

<math>\frac{\left(\ln(N\sqrt{30})\right)^3}{6\ln 2 \ln 3 \ln 5}+O(\log N),</math>

и было высказано предположение, что погрешность этого приближения на самом деле <math>O(\log\log N)</math>[3]. Похожая формула для количества 3-гладких чисел до N дана Сринивасой Рамануджаном в его первом письме Годфри Харолду Харди[4].

Вавилонская математика

В вавилонской шестидесятеричной записи обратное число от регулярного числа имеет конечное представление, поэтому оно легко делится. В частности, если n делит 60k, тогда шестидесятеричное представление 1/n равно 60k/n , сдвинутое на некоторое количество мест.

Например, предположим, что мы хотим разделить на обычное число 54 = 2133. 54 — делитель 603, а 603/54 = 4000, поэтому деление на 54 в шестидесятеричной дроби можно выполнить, умножив на 4000 и сдвинув три разряда. В шестидесятеричном формате 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1, или (как указано Джойсом) 1:6:40. Таким образом, 1/54 в шестидесятеричном формате составляет 1/60 + 6/602 + 40/603, что также обозначается 1:6:40, как это делали вавилонские условные обозначения. не указывая степень начальной цифры. И наоборот, 1/4000 = 54/603, поэтому деление на 1:6:40 = 4000 может быть выполнено умножением на 54 и сдвигом трёх шестидесятеричных знаков.

Вавилоняне использовали таблицы обратных регулярных чисел, некоторые из которых сохранились до сих пор (Закс, 1947). Эти таблицы существовали относительно неизменными на протяжении вавилонских времён[5].

Хотя основная причина предпочтения обычных чисел другим заключается в конечности их обратных чисел, некоторые вавилонские вычисления, кроме обратных, также включали регулярные числа. Например, найдены таблицы регулярных квадратов[5], а сломанная клинопись таблички Плимптон 322 была интерпретирована Отто Э. Нейгебауэром как перечисление пифагоровых троек <math>( p^2 - q^2,\, 2pq,\, p^2 + q^2 )</math>, сгенерированных обоими регулярными числами p, q, которые меньше 60[6].

Теория музыки

В теории музыки натуральный строй диатонической гаммы включает обычные числа: высоты звука в одной октаве этой гаммы имеют частоты, пропорциональные числам в последовательности 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 почти последовательных регулярных чисел. Таким образом, для инструмента с такой настройкой все высоты тона являются регулярными гармониками одной Шаблон:Нп5. Эта шкала называется настройкой 5-Шаблон:Нп5 настройкой, что означает, что интервал между любыми двумя тонами можно описать как произведение 2i3j5k степеней простых чисел до 5, или, что то же самое, как отношение регулярных чисел.

5-предельные музыкальные шкалы, отличные от привычной диатонической шкалы западной музыки, также использовались как в традиционной музыке других культур, так и в современной экспериментальной музыке: Шаблон:Harvtxt перечисляет 31 различные 5-предельные шкалы, взятые из большой базы данных музыкальных шкал. Каждая из этих 31 шкал разделяет с диатонической интонацией то свойство, что все интервалы являются отношениями регулярных чисел. Тональная сеть Эйлера обеспечивает удобное графическое представление высоты звука в любой 5-предельной настройке путём выделения октавных соотношений (степени двойки) так, что оставшиеся значения образуют планарную Шаблон:Нп5. Некоторые теоретики музыки в более общем плане заявили, что регулярные числа имеют фундаментальное значение для самой тональной музыки, и что отношения высоты тона, основанные на простых числах больше 5, не могут быть созвучными[7]. Однако равномерно темперированный строй современных фортепиано не является 5-предельной настройкой, и некоторые современные композиторы экспериментировали с настройками, основанными на простых числах больше 5.

В связи с применением обычных чисел к теории музыки представляет интерес найти пары регулярных чисел, которые отличаются на единицу. Таких пар ровно десять Шаблон:Nowrap[8] и каждая такая пара определяет сверхчастичное соотношение (x + 1)/x, которое имеет смысл как музыкальный интервал. Это 2/1 (октава), 3/2 (чистая квинта), 4/3 (чистая кварта), 5/4 (Шаблон:Нп5), 6/5 (Шаблон:Нп5), 9/8 (большая секунда), 10/9 (малая секунда), 16/15 (диатонический полутон), 25/24 (хроматический полутон) и 81/80 (Шаблон:Нп5).

Алгоритмы

Алгоритмы вычисления регулярных чисел в порядке возрастания были популяризированы Эдсгером Дейкстрой. Дейкстра [9] [10] приписывает Хэммингу задачу построения бесконечной возрастающей последовательности всех 5-гладких чисел; эта проблема теперь известна как проблема Хэмминга, и полученные таким образом числа также называются числами Хэмминга. Идеи Дейкстры для вычисления этих чисел заключаются в следующем:

  • Последовательность чисел Хэмминга начинается с цифры 1.
  • Остальные значения в последовательности имеют вид 2h, 3h и 5h, где h — любое число Хэмминга.
  • Следовательно, последовательность H может быть сгенерирована путём вывода значения 1, а затем происходит Шаблон:Нп5 последовательностей 2H, 3H и 5H.

Этот алгоритм часто используется для демонстрации возможностей ленивого функционального языка программирования, потому что (неявно) параллельные эффективные реализации, использующие постоянное количество арифметических операций на сгенерированное значение, легко строятся как описано выше. Также возможны такие же эффективные строгие функциональные или императивные последовательные реализации, тогда как явно параллельные генеративные решения могут быть нетривиальными[11].

В языке программирования Python ленивый функциональный код для генерации регулярных чисел используется в качестве одного из встроенных тестов для правильности реализации языка[12].

Связанная проблема, обсуждаемая в Шаблон:Harvtxt, состоит в том, чтобы перечислить все k-цифровые шестнадцатиричные числа в порядке возрастания, как было сделано (для k = 6) писцом эры Селевкидов Инакибит-Ану в табличке AO6456. В алгоритмических терминах это эквивалентно генерированию (в порядке) подпоследовательности бесконечной последовательности обычных чисел в диапазоне от 60k до 60k + 1. Смотрите Шаблон:Harvtxt для раннего описания компьютерного кода, который генерирует эти числа не по порядку, а затем сортирует их; Кнут описывает специальный алгоритм, который он приписывает Шаблон:Harvtxt, для более быстрого генерирования шестизначных чисел, но он не обобщается прямым способом на большие значения k. Шаблон:Harvtxt описывает алгоритм вычисления таблиц этого типа за линейное время для произвольных значений k.

Другие приложения

Шаблон:Harvtxt показывают, что, когда n является регулярным числом и делится на 8, производящая функция n-мерной экстремальной чётной унимодулярной решётки является n-й степенью многочлена.

Как и в случае с другими классами гладких чисел, регулярные числа важны как размеры проблем в компьютерных программах для выполнения быстрого преобразования Фурье, метода анализа доминирующих частот сигналов в изменяющихся во времени данных. Например, метод Шаблон:Harvtxt требует, чтобы длина преобразования была обычным числом.

В книге 8 «Государства» Платона есть аллегория брака, основанная на очень регулярном числе 604 = 12 960 000 и его делители. Позднее учёные использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок[13]. (Смотрите Шаблон:Нп5.)

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Классы натуральных чисел

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Вдохновлённый аналогичными диаграммами Эркки Куренниеми в «Хорды, шкалы и решётки делителей» Шаблон:Wayback.
  2. ↑ OEIS поиск последовательностей с 5-гладкостью Шаблон:Wayback.
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Citation.
  5. ↑ 5,0 5,1 Шаблон:Harvtxt.
  6. ↑ Смотрите Шаблон:Harvtxt для популярного обращения с этой интерпретацией. Плимптон 322 имеет другие интерпретации, о которых смотрите его статью, но все они включают регулярные числа.
  7. ↑ Шаблон:Harvtxt, например, заявляет, что «в любом произведении тональной музыки» все интервалы должны быть отношениями регулярных чисел, повторяя аналогичные утверждения гораздо более ранних авторов, таких как Шаблон:Harvtxt. В современной литературе по теории музыки это утверждение часто приписывают Шаблон:Harvtxt, который использовал графическое оформление, близкое к тональной сети, для организации 5-предельных высот звука.
  8. ↑ Шаблон:Harvtxt заметил, что это следует из Шаблон:Нп5 Шаблон:Harv, и предоставил доказательства по этому делу; смотрите также Шаблон:Harvtxt.
  9. ↑ Шаблон:Citation
  10. ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
  11. ↑ Смотрите, например, Шаблон:Harvtxt или Шаблон:Harvtxt.
  12. ↑ Функция m235 на test_generators.py Шаблон:Wayback.
  13. ↑ Шаблон:Harvtxt; Шаблон:Harvtxt.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Регулярное_число&oldid=10688058