Русская Википедия:Регулярные тепловые режимы

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором в начальный момент времени τ = 0 задано известной функцией координат f(x, y, z,0)=T₀. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды T_f = const. Уравнение теплопроводности в безразмерных переменных записывается как:

<math>{\partial\Theta\over\partial Fo}=\nabla^2\Theta</math> , где

• <math> \mathit{\Theta} = \frac{T-T_f}{T_0-T_f}</math> — безразмерная температура
• T = текущая температура тела
• T_f = температура среды
• T₀ = начальная температура тела
• Fo = Число Фурье

Решением данного уравнения при изложенных выше условиях является ряд вида:

<math>\sum_{n=1}^\infty A_n \phi_n exp(-m_nFo)</math>,

где <math>\phi_n=\phi_n(\overline{x},\overline{y},\overline{z}, Bi)</math> (где Bi — число Био), а <math>A_n</math> зависит от начальных условий. Рассматривая поведение данного ряда с течением времени (то есть с ростом Fo), приходим к выводу, что члены <math>m_1,m_2...m_n</math> убывают во времени, причём с неодинаковой скоростью. Члены высших порядков убывают быстрее и через некоторое время становятся пренебрежимо малы. Поэтому температура в любой точке тела задолго до достижения им температуры окружающей среды будет определяться, по существу, первым членом ряда, то есть следовать простому экспоненциальному закону:

<math>\Theta = A_1 \phi exp(-m_1Fo)</math>.

Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом регулярного, то есть упорядоченного режима. В зависимости от характера изменения температуры окружающей среды T_f во времени различают регулярные режимы трёх родов.

Регулярный режим первого рода

Рассмотренное выше условие T_f=const определяет регулярный режим первого рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек:

<math>T-T_f=C_1\nu exp(-m\tau)</math>, <math>C_1=const</math>, <math>\nu=\nu(x,y,z)</math>,

где m — темп нагрева, который для малых чисел Био (Bi<<1) определяется как:

<math>m=-{\partial ln(T-T_f)\over\partial \tau}=-\frac{\alpha F}{\rho cV}</math>, где

• F — площадь поверхности тела
• α — коэффициент теплоотдачи
• ρ — плотность тела
• c — теплоёмкость тела.

Для произвольных Bi вводится коэффициент неравномерности температурного поля ψ, который можно определить как отношение средней по поверхности безразмерной температуры к средней безразмерной температуре по объёму. В предельном случае, когда число Био стремится к бесконечности, ψ=0 Тогда выражение для темпа нагрева принимает вид:

<math>m=-{\partial ln(T-T_f)\over\partial \tau}=-\psi\frac{\alpha F}{\rho cV}</math>.

Регулярный режим второго рода

Наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды:

<math>{\partial T\over\partial \tau}={\partial T_f\over\partial \tau}=b</math>

Регулярный режим третьего рода

Регулярный режим третьего рода реализуется в случае гармонических колебаний температуры среды около некоторой средней температуры.

<math>T_f=T_{f0}+Acos(\omega\tau)</math>

Температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, то есть с периодом, одинаковым для всех точек тела:

<math>T=Psin(\omega\tau)+Qcos(\omega\tau)=T_0+Bcos(\omega\tau-\phi)</math>

где φ, T₀, P, Q, B — функции координат. (Эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)

См. также

• Теплопередача
• Конвекция