Русская Википедия:Редко используемые тригонометрические функции
Редко используемые тригонометрические функции — функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом). К ним относятся:
- Синус-верзус (другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелка дуги»). Определяется как <math>\operatorname{versin}\,\vartheta = 1 - \cos\vartheta = 2\sin^2\frac{\vartheta}{2}.</math> Представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Иногда используются обозначения <math>\operatorname{vers}\,\vartheta, \quad \sin\,\operatorname{vers}\,\vartheta.</math>
- Косинус-верзус (другие написания: косинус версус или веркосинус). Определяется как <math>\operatorname{vercos}\,\vartheta = \operatorname{versin}\,\left(\frac{\pi}{2}-\vartheta\right) = 1 + \cos\vartheta.</math>Иногда используются обозначения cos vers.
- Аккорд — одна из редких тригонометрических функций, которая использовалась в ранней тригонометрии. Определяется эта функция как 2sin(x/2).
- Коверсинус (лат. coversinus, сокращение от coversed sine. Другие написания: синус-коверзус, покрытый синус.) Определяется эта функция как <math>\operatorname{coversin}\,\vartheta=1-\sin\vartheta</math>. Для этой функции используются также обозначения <math>\operatorname{covers}\,\vartheta</math> или <math>\operatorname{cvs}\,\vartheta</math>.
- Коверкосинус (лат. covercosinus, сокращение от covercosed sinе. Другие написания: косинус-коверзус, покрытый косинус.) Определяется функция как <math>\operatorname{covercos}\,\vartheta=1+\sin\vartheta</math>. Для данной функции также используeтся обозначениe <math>\operatorname{cvc}\,\vartheta</math>.
- Гаковерсинус (лат. hacoversinus, coкращение от half the coversed sine.) Определяется данная функция как <math>\operatorname{hacoversin}\,\vartheta=\frac{\operatorname{coversin}\,\vartheta}2</math>.
- Гаковеркосинус (лат. hacovercosinus, сокращение от half the covercosed sine.) Определяется как <math>\operatorname{hacovercos}\,\vartheta=\frac{\operatorname{covercos}\,\vartheta}2</math>.
- Гаверсинус (Шаблон:Lang-la, сокращение от half the versed sine). Определяется как <math>\operatorname{haversin}\,\vartheta = \frac{\operatorname{versin}\,\vartheta}{2} = \sin^2\frac{\vartheta}{2}.</math> Используется также обозначение <math>\operatorname{hav}\,\vartheta.</math>
- Гаверкосинус (Шаблон:Lang-la, сокращение от half the versed cosine). Определяется как <math>\operatorname{havercos}\,\vartheta = \frac{\operatorname{vercos}\,\vartheta}{2} = \cos^2\frac{\vartheta}{2}.</math> Используется также обозначение <math>\operatorname{hac}\,\vartheta.</math>
- Эксеканс (Шаблон:Lang-la) или экссеканс. Определяется как <math>\operatorname{exsec}\,\vartheta = \sec\vartheta - 1.</math>
- Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу: <math>\operatorname{excsc}\,\vartheta = \operatorname{exsec}\,\left(\frac{\pi}{2}-\vartheta\right) = \operatorname{cosec}\,\vartheta - 1.</math>
Использование
Версинус, коверсинус и гаверсинус были удобны для ручных расчётов с использованием логарифмов (использовали логарифмы или логарифмическую линейку), поскольку они всюду неотрицательны, однако в связи с развитием вычислительных средств эта область применения неактуальна. В настоящее время эти функции используются для описания соответствующих сигналов в электронике (например, в функциональных генераторах). Гаверсинус также используется в навигационных расчётах для избежания ошибок округления в вычислительных системах с ограниченной разрядностью. Гаверсинус используется в формуле Хаверсина также для навигационных расчётах.
Функция эксеканс использовалась в железнодорожном строительстве, сферической тригонометрии, а также в геодезии вплоть до 1980-х годов. Экскосеканс использовался в кинетической энергии фермионов знаменитым физиком Альбертом Эйнштейном.
Синус-верзус
Определение
Синус-верзус определён через синус и косинус как
- <math>\operatorname{versin}\,\vartheta=1-\cos\vartheta=2\sin^2\left(\frac{\vartheta}{2}\right).</math>
Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.
Свойства
Версинус — периодическая функция с периодом <math>2\pi</math>. Версинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
<math>\operatorname{versin}</math> можно использовать в плоскости комплексных чисел.
Производная версинуса
- <math>\frac{d}{dz} \operatorname{versin}\ z = \operatorname{sin}\ z</math>
Первообразная версинуса
- <math>\int\operatorname{versin}\, z \,dz = z-\sin z + C</math>
Косинус-верзус
Определение
Косинус-верзус определён через версинус и косинус как
- <math>\operatorname{vercos}\,\vartheta = \operatorname{versin}\,\left(\frac{\pi}{2}-\vartheta\right) = 1 + \cos\vartheta.</math>
Свойства
Веркосинус — периодическая функция с периодом <math>2\pi</math>. Веркосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
<math>\operatorname{vercos}</math> можно использовать в плоскости комплексных чисел.
Производная веркосинуса
- <math>\frac{d}{dz} \operatorname{vercos}\ z = -\operatorname{cos}\ z</math>
Первообразная веркосинуса
- <math>\int\operatorname{vercos}\, z \,dz = z+\cos z + C</math>
Гаверсинус
Определение
Гаверсинус определён через верзус-синус и синус как
- <math>\operatorname{haversin}\,\vartheta = \frac{\operatorname{versin}\,\vartheta}{2} = \sin^2\frac{\vartheta}{2}.</math>
Свойства
Гаверсинус — периодическая функция с периодом <math>2\pi</math>. Гаверсинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
<math>\operatorname{haversin}</math> можно использовать в плоскости комплексных чисел.
Производная гаверсинуса
- <math>\frac{d}{dz} \operatorname{haversin}\ z = \frac{\operatorname{sin}\ z}{2}</math>
Первообразная гаверсинуса
- <math>\int\operatorname{haversin}\, z \,dz = -\frac{\operatorname{sin}\ z}{2} + \frac{z}{2} + C</math>
Гаверкосинус
Определение
Гаверкосинус определён через верзус-косинус и косинус как
- <math>\operatorname{havercos}\,\vartheta = \frac{\operatorname{vercos}\,\vartheta}{2} = \cos^2\frac{\vartheta}{2}.</math>
Свойства
Гаверкосинус — периодическая функция с периодом <math>2\pi</math>. Гаверкосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
<math>\operatorname{havercos}</math> можно использовать в плоскости комплексных чисел.
Производная гаверкосинуса
- <math>\frac{d}{dz} \operatorname{havercos}\ z = -\frac{\operatorname{cos}\ z}{2}</math>
Первообразная гаверкосинуса
- <math>\int\operatorname{havercos}\, z \,dz = \frac{\operatorname{cos}\, z}{2} + \frac{z}{2} + C</math>
Эксеканс
Определение
Эксеканс определён через секанс как
- <math>\operatorname{exsec}\,\vartheta = \sec\vartheta - 1.</math>
- Эксеканс можно определить через тангенс и синус-верзус как
- exsec(x) = versin(x)/cos(x)
- exsec(x) = tg(x)*tg(x/2)
Свойства
Эксеканс — периодическая функция с периодом <math>2\pi</math>. Эксеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
<math>\operatorname{exsec}</math> можно использовать в плоскости комплексных чисел.
Производная эксеканса
<math>\frac{d}{dz} \operatorname{exsec}\ z = \operatorname{tg}\ z \cdot \operatorname{sec}\ z</math>
Первообразная эксеканса
- <math>\int\operatorname{exsec}(z)\,\mathrm{d}z = \ln\left[\cos\left(\frac{z}{2}\right) + \sin\left(\frac{z}{2}\right)\right] - \ln\left[\cos\left(\frac{z}{2}\right) - \sin\left(\frac{z}{2}\right)\right] - z + C</math>
Экскосеканс
Определение
Экскосеканс определён через эксеканс и косеканс как
- <math>\operatorname{excsc}\,\vartheta = \operatorname{exsec}\,\left(\frac{\pi}{2}-\vartheta\right) = \operatorname{cosec}\,\vartheta - 1.</math>
Свойства
Экскосеканс — периодическая функция с периодом <math>2\pi</math>. Экскосеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.
<math>\operatorname{excsc}</math> можно использовать в плоскости комплексных чисел.
Производная экскосеканса
- <math>\frac{d}{dz} \operatorname{excsc}\ z = -\operatorname{ctg}\ z \cdot \operatorname{sec}\ z</math>
Первообразная экскосеканса
- <math>\int\operatorname{excsc}(z)\,\mathrm{d}z = \ln\left[\tan\left(\frac{z}{2}\right)\right] - z + C</math>
Ссылки
- Статьи в энциклопедии Mathworld, описывающие эксеканс, версинус, коверсинус, гаверсинус, гаверкосинус.
- Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере.
- Вычисление расстояния между двумя точками на сфере: использование гаверсинуса в sql.
См. также
