Русская Википедия:Резольвента интегрального уравнения

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

<math>f(s)+\lambda\int\limits_a^b K(s,\;t)\varphi(t)\,dt=\varphi(s).\qquad(*)</math>

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция <math>\Gamma(s,\;t,\;\lambda)</math> переменных <math>s</math>, <math>t</math> и параметра <math>\lambda</math>, что решение уравнения (*) представляется в виде:

<math>u^*(s)=f(s)+\lambda\int\limits_a^b\Gamma(s,\;t,\;\lambda)f(t)\,dt.</math>

При этом <math>\lambda</math> не должна быть собственным числом уравнения (*).

Пример

Пусть уравнение (*) имеет ядро <math>K(s,\;t)=s+t</math>, то есть само уравнение имеет вид:

<math>\varphi(s)+\lambda\int\limits_0^1(s+t)\varphi(t)\,dt=f(s).</math>

Тогда его резольвентой является функция

<math>\Gamma(s,\;t,\;\lambda)=\frac{s+t+\lambda\left(\dfrac{s+t}{2}+st+\dfrac{1}{3}\right)}{1+\lambda-\dfrac{\lambda^2}{12}}.</math>

Резольвента линейного оператора

Пусть <math>A</math> — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция

<math>R(z) = (A - zE)^{-1}</math>,

где <math>E</math> — тождественный оператор, а <math>z</math> — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что <math>R(z)</math> есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

См. также

• Спектр оператора