Русская Википедия:Результант
В математике, результантом двух многочленов <math>P</math> и <math>Q</math> над некоторым полем <math>\mathbb K</math>, старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение
- <math>\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),</math>
иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля <math>\mathbb K</math> с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов <math>P</math> и <math>Q</math> (лежащих, быть может, вне поля <math>\mathbb K</math>), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов <math>P</math> и <math>Q</math>. Для многочленов, старшие коэффициенты которых (<math>p</math> и <math>q</math> соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на
- <math>p^{\deg Q} q^{\deg P}.</math>
Свойства и способы вычисления
- Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов <math>P</math> и <math>Q</math>, равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов <math>P</math> и <math>Q</math> имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля <math>\mathbb K</math>).
- Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
- Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
- <math>\mathrm{res}(P_1P_2,Q) = \mathrm{res}(P_1,Q)\mathrm{res}(P_2,Q)</math>
- <math>\mathrm{res}(P,\operatorname{const}) = \operatorname{const}^{\deg P}</math>
- <math>\mathrm{res}(AP(x),BQ(x)) = A^{\deg Q}B^{\deg P}\mathrm{res}(P(x),Q(x))</math>
- Если <math>A,C\neq 0, \deg (AP(x)+BQ(x))=\deg (CP(x)+DQ(x))=n \geqslant 1</math>, то
- <math>\mathrm{res}(AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x)) = (AD-BC)^n\mathrm{res}(P(x),Q(x))</math>
- <math>\mathrm{res}(P,Q) = 0 \Leftrightarrow \deg\gcd(P,Q)\geqslant 1</math>, т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
- Для многочленов <math>P(x),Q(x)</math> существуют многочлены <math>U(x),V(x)</math> с <math>\deg{U}\leqslant \deg{P}-1,\deg{V}\leqslant \deg{Q}-1</math> такие, что
- <math>\mathrm{res}(P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x)</math>. Многочлены <math>U(x),V(x)</math> с <math>m=\deg U,n=\deg V</math> могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменен на <math>(x^m,...,x,1,0,...,0)^T</math> для <math>U(x)</math> или на <math>(0,...,0,x^n,...,x,1)^T</math> для <math>V(x)</math>.
- Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики нуль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):
- <math>\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x).</math>
Литература
Ссылки
