Русская Википедия:Релятивистская механика
Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.
Общие принципы
В классической механике пространственные координаты и время являются независимыми (при отсутствии гомоных связей, зависящих от времени), время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта, и действуют преобразования Галилея. В релятивистской же механике события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.
Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса — являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.
Второй закон Ньютона в релятивистской механике
Сила определяется как
- <math>\vec F= \frac {d\vec p}{dt}.</math>
Также известно выражение для релятивистского импульса:
- <math>\vec p = \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}.</math>
Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:
- <math>\frac {d\vec {p}}{dt}=m\gamma\vec a +m\gamma^3\vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ),</math>
где введены обозначения: <math>\vec{\beta}\equiv \frac {\vec{v}}{c}</math> и <math>\gamma \equiv \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>.
В результате выражение для силы приобретает вид:
- <math>\vec F= m\gamma\vec a +m\gamma^3 \vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ).</math>
Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.
Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике
Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия
- <math>S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds,</math>
где <math>\alpha</math>-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО)
- <math>ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt.</math>
Подставляя в интеграл движения, находим
- <math>S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt.</math>
Но, с другой стороны, интеграл движения можно выразить через функцию Лагранжа
- <math>S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt.</math>
Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть
- <math>\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}.</math>
Далее, разложим последнее выражение по степеням <math>\frac{v}{c}</math>, получим
- <math>\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}.</math>
Первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: <math> \frac{m v^2}{2}</math>, нетрудно определить константу <math>\alpha</math>
- <math>\alpha = mc.</math>
Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы
- <math>\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}.</math>
Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.
Релятивистская частица как неголономная система
Поскольку квадрат 4-вектора импульса <math>P_{\alpha}</math> является постоянной величиной:
- <math> P_{\alpha} P^{\alpha} - m^2 c^2=0, </math>
то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве[1][2][3].
Примечания
См. также
- Теория относительности
- Специальная теория относительности
- Общая теория относительности
- Релятивистски равноускоренное движение
- Релятивистская электродинамика
Литература
- Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
- Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
- Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
- Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)
Шаблон:Phys-stub Шаблон:Разделы механики Шаблон:Разделы физики
- ↑ O. Krupková and J. Musilová, «The relativistic particle as a mechanical system with non-holonomic constraints», J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 3859-3876.
- ↑ O. Krupkova, J. Musilova, «The relativistic mechanics in a nonholonomic setting: A unified approach to particles with non-zero mass and massless particles» arXiv:0904.2933.
- ↑ V.E. Tarasov «Relativistic non-Hamiltonian mechanics» Annals of Physics. Vol.325. No.10.(2010) p.2103-2119.
