Русская Википедия:Ретракция Шарафутдинова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ретракция Шарафутдинова — конструкция, позволяющая построить ретракцию риманова многообразия по выпуклой функции на нём.

Впервые использована в 1979 году Шарафутдиновым в доказательстве того, что любые две души в многообразии с неотрицательной секционной кривизной изометричны.

Конструкция

Пусть <math>M</math> — связное риманово многообразие, <math>f:M\to \R</math> — выпуклая функция и <math>s=\max\{\,f(x)\mid x\in M\,\}</math>. Для <math>t\le s</math> обозначим через <math>M_t</math> множество <math>\{\,x\in M\mid f(x)\le t\}</math>. Ретракция Шарафутдинова — это семейство отображений <math>\Phi_t:M\to M_t</math>, которое является тождественным на <math>M_t</math> такое, что если <math>f(x)<t</math> то <math>\Phi_t(x)</math> лежит на градиентной кривой из <math>x</math> функции <math>f</math> и при этом <math>f(\Phi_t(x))=t</math>.

Свойства

• Отображения <math>\Phi_t:M\to M_t</math> являются короткими.
• Если <math>t\ge \tau</math> то <math>\Phi_t\circ\Phi_\tau=\Phi_t</math>.