Русская Википедия:Решение Керра — Ньюмена
Шаблон:ОТО Реше́ние Ке́рра — Нью́мена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.
Форма решения и его свойства
Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно теоремам об «отсутствии волос» для известных физических полей). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:Шаблон:Sfn
- <math>ds^2 = -\left(1-{2\,Mr-Q^2\over\Sigma}\right)\,dt^2-2(2\,Mr-Q^2)a{\sin^2\theta\over\Sigma}\,dt\,d\varphi\,+</math>
- <math>+\left(r^2+a^2+{(2\,Mr-Q^2)a^2\sin^2\theta\over\Sigma}\right)\sin^2\theta\,{d\varphi^2}+{\Sigma\over\Delta}\,dr^2+{\Sigma\,{d\theta^2}},</math>
где <math> \Sigma \equiv r^2 + a^2 \cos^2\theta</math>; <math>\Delta \equiv r^2 - 2 Mr + a^2 + Q^2</math> и <math>a \equiv L/M</math>, где <math>L</math> — момент импульса, нормированный на скорость света, а <math>Q</math> — аналогично нормированный заряд.
Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: <math>r_+ = M + \sqrt{M^2 - Q^2 - a^2}</math>, и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:
- <math>a^2 + Q^2 \leqslant M^2</math> — это ограничение для ЧД Керра — Ньюмена.
Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность, но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному принципу космической цензуры). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.
Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе arXiv:0910.5388[hep-th].
Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая эргосферой, практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).
Координаты Керра — Шильда
Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ)[1], в которой метрика имеет вид
- <math> g_{\mu \nu} =\eta_{\mu \nu} + 2H k_\mu k_\nu </math>,
где <math> \eta_{\mu \nu} </math> является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами <math> x= x^\mu (x)= (t,x,y,z) </math>.
В этой форме <math> k^\mu (x) </math> является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку <math> k_\mu k^\mu = g_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0 </math>. Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле <math> k^\mu (x) </math> является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть <math> \eta_{\mu \nu} k^\mu k^\nu =0 </math> .
Функция H имеет вид
- <math> H =\frac {Mr - |Q|^2/2}
{r^2+ a^2 \cos^2\theta} , </math>
где <math> r, \theta </math> — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением
- <math> x+iy = (r + ia) e^{i\phi} \sin \theta , \ z=r\cos \theta . </math>
и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты. В этих координатах компоненты вектора <math> k_\alpha </math> определяются из дифференциальной формы
- <math> k_\alpha dx^\alpha = dr - dt - a \sin ^2 \theta d\phi </math>
путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.
В действительности, Керровская угловая координата <math> \phi </math> очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля <math> k^\mu (x) </math>, которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК). В декартовых координатах компоненты векторного поля <math> k_\mu </math> определяются формой
- <math> k_\mu dx^\mu = - dt +\frac z r dz + \frac r {r^2 +a^2} (xdx+ydy) - \frac a {r^2 +a^2} (xdy-ydx) </math>.
В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты
<math> u=(z-t)/\sqrt {2},\quad v=(z+t)/\sqrt {2},\quad \zeta=(x+iy)/\sqrt {2},\quad \bar\zeta=(x-iy)/\sqrt {2} </math>,
в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой
- <math> k_\mu^{(\pm)} dx^\mu = P^{-1}(du +\bar Y^\pm d\zeta + Y^\pm d\bar\zeta - Y^\pm \bar Y^{(\pm)} dv) </math>.
Это выражение определяется комплексной функцией <math> Y (x) </math>, которая имеет два решения <math> Y^\pm (x) </math>, что даёт для векторного поля <math> k^\mu (x) </math> две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по классификации Петрова).
Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты <math> r </math>.
В координатах Керра <math> \theta , \phi </math> функция <math> Y (x) </math> имеет вид
- <math> Y(x) = e^{i\phi} \tan \frac \theta 2 </math> .
Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами <math> \theta , \phi </math> на комплексную плоскость <math> Y </math> , однако зависимость <math> x \to Y(x) </math> очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с твисторами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция <math> P </math> для покоящегося решения имеет вид
<math> P = \frac 1 {\sqrt 2} (1+ Y \bar Y ) </math>.
Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде
- <math> A^\mu = \Re e \frac {Q r}{r^2 + a^2 \cos ^2 \theta} k^\mu </math>.
Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям <math> r = 0 </math> и одновременно <math> \theta = 0 </math>. Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, <math> r < 0 </math>, на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.
Литература
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Черные дыры
