Русская Википедия:Решение треугольников

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Исторический термин «решение треугольников» (Шаблон:Lang-lat) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известнымШаблон:Sfn. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь Шаблон:Итд), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) Шаблон:Итп Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников

Файл:Triangle with notations (black).svg
Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника[1] общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон <math>a, b, c</math>) и 3 угловые (<math>\alpha, \beta, \gamma</math>). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейнаяШаблон:Sfn.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов[2]:

  • три стороны;
  • две стороны и угол между ними;
  • две стороны и угол напротив одной из них;
  • сторона и два прилежащих угла;
  • сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольниковШаблон:Sfn:

Теорема косинусов
<math> a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha </math>
<math> b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cdot \cos \beta </math>
<math> c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma </math>
Теорема синусов
<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>
Сумма углов треугольника
<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math>

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания

  1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синусШаблон:Sfn. Например, если <math>\sin \beta = 0{,}5,</math> то угол <math>\beta</math> может быть как <math>30^\circ</math>, так и <math>150^\circ</math>, потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> значение косинуса определяет угол однозначно.
  2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
  3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем <math>180^\circ</math>.
Файл:Resolve triangle with a b c.svg
Заданы три стороны

Три стороны

Пусть заданы длины всех трёх сторон <math>a, b, c</math>. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

<math>a < b + c,\quad b < a + c,\quad c < a + b.</math>

Чтобы найти углы <math>\alpha, \beta</math>, надо воспользоваться теоремой косинусов[3]:

<math> \alpha=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2b c},\quad\beta=\arccos\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.</math>

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна <math>180^\circ\colon</math>

<math>\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta).</math>

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Файл:Resolve triangle with a b gamma.svg
Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть для определённости известны длины сторон <math>a, b</math> и угол <math>\gamma</math> между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны <math>c</math> применяется теорема косинусов[4]:

<math>c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.</math>

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

<math> \alpha= \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}= \arccos \frac{b-a\cos\gamma} {\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}}.</math>

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: <math>\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma</math>.

Файл:Resolve triangle with b c beta.svg
Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны <math>b, c</math> и угол <math>\beta</math>. Тогда уравнение для угла <math>\gamma</math> находится из теоремы синусов[5]:

<math>\sin\gamma = \frac{c}{b} \sin\beta.</math>

Для краткости обозначим <math>D=\frac{c}{b} \sin\beta</math> (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от DШаблон:SfnШаблон:Sfn.

  1. Задача не имеет решения (сторона <math>b</math> «не достаёт» до линии <math>BC</math>) в двух случаях: если <math>D>1</math> или если угол <math>\beta \geqslant 90^\circ</math> и при этом <math>b \leqslant c.</math>
  2. Если <math>D=1,</math> существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: <math>\gamma =\arcsin D = 90^\circ.</math>
Файл:Resolve triangle with b c beta 2 solutions.svg
Два возможных решения
  2. Если <math>D<1,</math> то возможны 2 варианта.
    1. Если <math>b<c</math>, то угол <math>\gamma</math> имеет два возможных значения: острый угол <math>\gamma = \arcsin D</math> и тупой угол <math>\gamma' = 180^\circ - \gamma</math>. На рисунке справа первому значению соответствуют точка <math>C</math>, сторона <math>b</math> и угол <math>\gamma</math>, а второму значению — точка <math>C'</math>, сторона <math>b'=b</math> и угол <math>\gamma'</math>.
    2. Если <math>b \geqslant c</math>, то <math>\beta \geqslant \gamma</math> (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для <math>\gamma</math> исключён и решение <math>\gamma=\arcsin D</math> единственно.

Третий угол определяется по формуле <math>\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma </math>. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

<math>a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>
Файл:Resolve triangle with c alpha beta.svg
В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла

Пусть задана сторона <math>c</math> и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше <math>180^\circ</math>. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы <math>\alpha, \beta</math>, то <math>\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta</math>. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов[6]:

<math>a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}, \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.</math>

Решение прямоугольных треугольников

Файл:Right triangle with notations (black).svg
Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой <math>C</math>, гипотенузу — <math>c</math>. Катеты обозначаются <math>a</math> и <math>b</math>, а величины противолежащих им углов — <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

<math> c^2 = a^2 + b^2 </math>

и определения основных тригонометрических функций:

<math> \sin \alpha = \cos \beta = \frac ac,\quad \cos \alpha = \sin \beta = \frac bc,</math>
<math> \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} \beta = \frac ab,\quad \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg} \beta = \frac ba. </math>

Ясно также, что углы <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — острые, так как их сумма равна <math>90^\circ</math>. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

<math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. </math>

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

<math> \alpha = \operatorname{arctg} \frac ab, \quad \beta = \operatorname{arctg} \frac ba </math>

или же по только что найденной гипотенузе:

<math> \alpha = \arcsin \frac ac = \arccos \frac bc , \quad \beta = \arcsin \frac bc = \arccos \frac ac. </math>

Катет и гипотенуза

Пусть известны катет <math>b</math> и гипотенуза <math>c</math> — тогда катет <math>a</math> находится из теоремы Пифагора:

<math> a = \sqrt{c^2 - b^2}. </math>

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол

Пусть известны катет <math>b</math> и прилежащий к нему угол <math>\alpha</math>.

Гипотенуза <math>c</math> находится из соотношения

<math> c = \frac {b} {\cos \alpha}. </math>

Катет <math>a</math> может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

<math> a = b\ \mathrm{tg}\,\alpha. </math>

Острый угол <math>\beta</math> может быть найден как

<math>\beta = 90^\circ - \alpha. </math>

Катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет <math>b</math> и противолежащий ему угол <math>\beta</math>.

Гипотенуза <math>c</math> находится из соотношения

<math> c = \frac {b} {\sin \beta}. </math>

Катет <math>a</math> и второй острый угол <math>\alpha</math> могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол

Пусть известны гипотенуза <math>c</math> и острый угол <math>\beta</math>.

Острый угол <math>\alpha</math> может быть найден как

<math>\alpha = 90^\circ - \beta. </math>

Катеты определяются из соотношений

<math> a = c \sin \alpha = c \cos \beta,</math>
<math> b = c \sin \beta = c \cos \alpha.</math>

Решение сферических треугольников

Шаблон:Сдвоенное изображение Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника <math>a, b, c</math> принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов <math>\alpha+\beta+\gamma</math> зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии НепераШаблон:Sfn и формула половины стороныШаблон:Sfn.

Файл:Solve spherical triangle with a b c.png
Заданы три стороны

Три стороны

Если даны (в угловых единицах) стороны <math>a, b, c</math>, то углы треугольника определяются из теоремы косинусовШаблон:Sfn:

<math>\alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}\right)</math>,
<math>\beta = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}\right)</math>,
<math>\gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}\right)</math>,
Файл:Solve spherical triangle with a b gamma.png
Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть заданы стороны <math>a, b</math> и угол <math>\gamma</math> между ними. Сторона <math>c</math> находится по теореме косинусов[7]:

<math>c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right)</math>

Углы <math>\alpha, \beta</math> можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

<math>\alpha = \operatorname{arctg}\ \frac{2\sin a}{\operatorname{tg}(\frac{\gamma}{2}) \sin (b+a) + \operatorname{ctg}(\frac{\gamma}{2})\sin(b-a)},</math>
<math>\beta = \operatorname{arctg}\ \frac{2\sin b}{\operatorname{tg}(\frac{\gamma}{2}) \sin (a+b) + \operatorname{ctg}(\frac{\gamma}{2})\sin(a-b) }.</math>
Файл:Solve spherical triangle with b c beta.png
Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними

Пусть заданы стороны <math>b, c</math> и угол <math>\beta</math>. Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

<math>b > \arcsin (\sin c\,\sin\beta).</math>

Угол <math>\gamma</math> получается из теоремы синусов:

<math>\gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right).</math>

Здесь, аналогично плоскому случаю, при <math>b<c</math> получаются два решения: <math>\gamma</math> и <math>180^\circ - \gamma</math>.

Остальные величины можно найти из формул аналогии НепераШаблон:Sfn:

<math>a = 2\operatorname{arctg} \left\{ \operatorname{tg}\left(\frac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\frac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\frac12(\beta-\gamma)\right)} \right\}</math>,
<math>\alpha = 2\operatorname{arcctg} \left\{\operatorname{tg}\left(\frac12(\beta-\gamma)\right) \frac{\sin \left(\frac12(b+c)\right)}{\sin \left(\frac12(b-c)\right)} \right\}</math>.
Файл:Solve spherical triangle with c alpha beta.png
Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы

В этом варианте задана сторона <math>c</math> и углы <math>\alpha, \beta</math>. Угол <math>\gamma</math> определяется по теореме косинусовШаблон:Sfn:

<math>\gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta).</math>

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

<math>a = \operatorname{arctg}\left\{\frac{2\sin\alpha}{\operatorname{ctg}(c/2) \sin(\beta+\alpha) + \operatorname{tg}(c/2) \sin(\beta-\alpha)}\right\}</math>
<math>b = \operatorname{arctg}\left\{\frac{2\sin\beta} {\operatorname{ctg}(c/2) \sin(\alpha+\beta) + \operatorname{tg}(c/2)\sin(\alpha-\beta)}\right\}</math>

или, если использовать вычисленный угол <math>\gamma</math>, по теореме косинусов:

<math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),</math>
<math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right).</math>
Файл:Solve spherical triangle with a alpha beta.png
Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона <math>a</math> и углы <math>\alpha, \beta</math>. Сторона <math>b</math> определяется по теореме синусовШаблон:Sfn:

<math>b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).</math>

Если угол для стороны <math>a</math> острый и <math>\alpha > \beta</math>, существует второе решение:

<math>b = \pi - \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).</math>

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

<math>c = 2\operatorname{arctg} \left\{ \operatorname{tg}\left(\frac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\frac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right\}.</math>
<math>\gamma = 2\operatorname{arcctg} \left\{\operatorname{tg}\left(\frac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\frac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right\}.</math>
Файл:Solve spherical triangle with alpha beta gamma.png
Заданы три угла

Три угла

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

<math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right)</math>,
<math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right)</math>,
<math>c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right)</math>.

Другой вариант: использование формулы половины углаШаблон:Sfn.

Решение прямоугольных сферических треугольников

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол <math>C</math>) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношенийШаблон:Sfn:

<math>\sin a = \sin c \cdot \sin \alpha = \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{ctg} \beta,</math>
<math>\sin b = \sin c \cdot \sin \beta = \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} \alpha,</math>
<math>\cos c = \cos a \cdot \cos b = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \beta,</math>
<math>\operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} \alpha,</math>
<math>\operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos \alpha,</math>
<math>\cos \alpha = \cos a \cdot \sin \beta = \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{ctg} c,</math>
<math>\cos \beta = \cos b \cdot \sin \alpha = \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} c.</math>

Вариации и обобщения

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

  • Задача Региомонтана: построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий уголШаблон:Sfn.
  • Задача Снеллиуса-Потенота.
  • Задача Томаса ФинкеШаблон:Sfn: найти углы треугольника, если известна сумма двух углов <math>\alpha+\beta</math> и отношение противолежащих сторон <math>a:b</math>.
  • Задача Ньютона: решить треугольник, если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.

Примеры практического применения

Триангуляция

Файл:Distance by triangulation.svg
Определение расстояния с помощью триангуляции

Шаблон:Main

Чтобы определить расстояние <math>d</math> от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние <math>l</math> между которыми известно, и измерить углы <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольникаШаблон:Sfn:

<math>d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \,l = \frac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} \,l</math>

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы <math>\alpha, \beta</math> при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние[8].

Файл:Mountain height by triangulation.svg
Определение высоты горы

Другой пример: требуется измерить высоту <math>h</math> горы или высокого здания. Известны углы <math>\alpha, \beta</math> наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии <math>l</math>. Из формул того же варианта, что и выше, получаетсяШаблон:Sfn:

<math> h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \,l = \frac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha} \,l</math>

Шаблон:Clr

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара

Файл:Distance on earth.png

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шареШаблон:Sfn:

Точка <math>A</math>: широта <math>\lambda_\mathrm{A},</math> долгота <math>L_\mathrm{A},</math>
Точка <math>B</math>: широта <math>\lambda_\mathrm{B},</math> долгота <math>L_\mathrm{B},</math>

Для сферического треугольника <math>ABC</math>, где <math>C</math> — северный полюс, известны следующие величины:

<math>a = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{B}</math>
<math>b = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{A}</math>
<math>\gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}</math>

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

<math>\mathrm{AB} = R \arccos\left\{\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right\}</math>,

где <math>R</math> — радиус Земли.

История

Шаблон:Main

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[9]

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрииШаблон:Sfn. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольниковШаблон:Sfn: Шаблон:Начало цитаты В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле. Шаблон:Конец цитаты Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее[10]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке[11].

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаковШаблон:Sfn. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут[12].

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных[13].

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометриюШаблон:Sfn. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших круговШаблон:Sfn. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометровШаблон:Sfn. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинусШаблон:Sfn. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов <math>\sin n\varphi</math>, <math>\cos n\varphi</math> для <math>n = 2, 3, 4, 5</math>. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась[14].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теорииШаблон:Sfn. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс[15].

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X векаШаблон:Sfn. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольникаШаблон:Sfn. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утвержденияШаблон:Sfn.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[16]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём угламШаблон:Sfn. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"Шаблон:Sfn. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»[17]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Теория и алгоритмы
История

Шаблон:Треугольник Шаблон:Сферическая тригонометрия

Шаблон:ВС

Шаблон:Хорошая статья

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Плоский треугольник иногда называют прямолинейным.
  2. ↑ Шаблон:Citeweb
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite web
  5. ↑ Шаблон:Cite web
  6. ↑ Шаблон:Cite web
  7. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок EEM545 не указан текст
  8. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок AG260 не указан текст
  9. ↑ Шаблон:Книга
  10. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок MATV92 не указан текст
  11. ↑ Шаблон:Книга
  12. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок VYG не указан текст
  13. ↑ Шаблон:Книга
  14. ↑ Шаблон:Книга
  15. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок SM79 не указан текст
  16. ↑ Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
  17. ↑ Шаблон:Книга
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Решение_треугольников&oldid=10696974