Русская Википедия:Риманова субмерсия
Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.
Определение
Пусть <math>(M,g)</math> и <math>(N,h)</math> — римановы многообразия. Гладкое отображение <math>f\colon(M,g)\to (N,h)</math> называется римановой субмерсией, если для любой точки <math>x</math> существует изометрическое линейное вложение <math>\imath_x\colon T_{f(x)}N \to T_xM</math> такое, что <math>\imath_x \circ d_xf</math> есть ортогональная проекция. Здесь <math>d_xf</math> обозначает дифференциал отображения <math>f</math> в точке <math>x</math>.
Для вектора <math>X\in T_{f(x)}</math> вектор <math>\overline{X}=\imath_x(X)</math> называется горизонтальным поднятием <math>X</math>.
Формула О’Нэйла
Пусть <math>f\colon N\to M</math> — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей <math>X</math>, <math>Y</math> на <math>M</math>, значение тензора кривизны <math>R_M</math> можно вычислить, используя формулу О’Нэйла
- <math>\langle R_M(X,Y)V,W\rangle=\langle R_N(\overline{X},\overline{Y})\overline{V},\overline{W}\rangle+\tfrac12\langle[\overline{X},\overline{Y}]^V,[\overline{V},\overline{W}]^V\rangle+\tfrac14\langle[\overline{X},\overline{V}]^V,[\overline{Y},\overline{W}]^V\rangle-\tfrac14\langle[\overline{X},\overline{W}]^V,[\overline{Y},\overline{V}]^V\rangle</math>.
где <math>\overline{X},\overline{Y},\overline{V},\overline{W}</math> — горизонтальные поднятия полей <math>X,Y,V,W</math> соответственно, <math>[\overline{X},\overline{Y}]^V</math> — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей <math>\overline{X},\overline{Y}</math> на <math>N</math>.
В частности,
- <math>\langle R_M(X,Y)Y,X\rangle=\langle R_N(\overline{X},\overline{Y})\overline{Y},\overline{X}\rangle+\tfrac34\left|[\overline{X},\overline{Y}]^V\right|^2</math>,
Замечания
- <math>[\overline{X},\overline{Y}]^V</math> является тензором, то есть его значение в точке зависит только от значений горизонтальных векторов <math>\overline{X}</math> и <math>\overline{Y}</math> в этой точке.
Следствия
- Абсолютная величина <math>[\overline{X},\overline{Y}]^V</math> в точке <math>p\in N</math> зависит только от точки <math>p</math> и значений <math>X</math> и <math>Y</math> в точке <math>f(p)</math>.
- Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну <math>\geqslant\kappa</math>, то то же верно и для его базы.
Вариации и обобщения
- Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга, том 2, стр. 326—379.
