Русская Википедия:Риччи-солитон
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.
Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.
В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля <math>X</math>, удовлетвояющего уравнению
- <math> \operatorname{Rc}(g_0) = \lambda \cdot g_0 + \mathcal{L}_X g_0, </math>
где <math>\operatorname{Rc}</math> — кривизной Риччи тензор, и <math>\mathcal{L}</math> — производная Ли. Если <math>X=0</math>, то условие превращается в условие Эйнштейна
Типы
- Если поле <math>X=\nabla f</math> является градиентом некой функции <math>f</math>, то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид
- <math> \operatorname{Rc}(g_0) = \lambda \cdot g_0 + \mathrm{Hess} f, </math>
- а сама функция <math>f</math> называется потенциалом солитона.
- При <math> \lambda=0</math> солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
- При <math> \lambda>0</math> солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче <math>(-\infty,0)</math> .
- При <math> \lambda<0</math> солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче <math>(0,\infty)</math>.
Свойства
- Для любого конуса <math>C</math> над сферой с римановой метрикой оператора кривизны <math>\ge 1</math> существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон <math>M^t</math>, такой, что <math>M^t</math> сходится к <math>C</math> при <math>t\to 0</math> по Громову — Хаусдрофу.[1]
- Для любого градиентного солитона с потенциалом <math>f</math> выполняется тождество
- <math>2\cdot \mathrm{Rc}(\nabla f)+\nabla \mathrm{R}=0,</math>
- где <math>\mathrm{Rc}</math> обозначает тензор Риччи, а <math>\mathrm{R}</math> — скалярную кривизну.
Примеры
- Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
- Плоскость <math>\mathbb{R}^2</math> с метрикой
- <math>ds^2= \frac{dx^2+dy^2}{1+x^2+y^2} </math>
- является стационарным градиентным солитоном с потенциалом <math>f=-\ln (1+x^2+y^2)</math>. Это так называемая сигара Гамильтона.
Примечания
Литература
