Русская Википедия:Родриг, Олинд
Шаблон:Учёный Бенжаме́н Оли́нд Родри́г (Шаблон:Lang-fr; Шаблон:ДР, Шаблон:МР — Шаблон:ДС, Шаблон:МС) — французский Шаблон:Математик, Шаблон:Механик и экономист, последователь социалиста-утописта А. Сен-СимонаШаблон:Sfn.
Биография
Родился 6 октября 1795 г. в Бордо, в зажиточной сефардской семье[1]. Окончил Высшую нормальную школу в ПарижеШаблон:Sfn.
28 июня 1815 г. защитил в Парижском университете докторскую диссертацию по математике (важнейшие результаты её, включая формулу для многочленов Лежандра, известную ныне как формула Родрига, были опубликованы в статье «О притяжении сфероидов»Шаблон:Sfn в 1816 г.)Шаблон:Sfn. После защиты работал в Политехнической школе репетитором, затем (приобретя в результате брокерских операций на бирже значительное состояние) стал в 1823 г. директором ссудного банкаШаблон:SfnШаблон:Sfn.
В 1817 г. Родриг женился на Эфрази (Euphrasie), урождённой Викторине Дениз Мартен (Victorine Denise Marten); у них было четверо детей — два сына и две дочериШаблон:Sfn.
В последние годы жизни графа Анри де Сен-Симона Родриг входил в число наиболее ревностных его учеников. После смерти Сен-Симона (скончавшегося 19 мая 1825 г. у Родрига на руках) последний собрал вместе всех учеников графа, которые решили не расставаться и продолжать его дело. Так возникло движение сенсимонистов, во главе которого первоначально — как ближайший ученик Сен-Симона — стоял Родриг, опубликовавший ряд работ по вопросам политики, экономики и социальных реформШаблон:Sfn. В 1825—1826 гг. он (наряду с С.-А. Базаром) был редактором первого сенсимонистского журнала «Le Producteur»[2].
Однако 31 декабря 1829 г. Родриг передал руководство делами движения П. Анфантену и С.-А. Базару, принимавшими наибольшее участие в разработке доктрины сенсимонизма, а в феврале 1832 г. вообще ушёл из сенсимонистской общины (что неблагоприятно отразилось на её положении, поскольку именно Родриг ранее заправлял всеми её денежными делами). Разрыв был вызван принципиальными разногласиями с Анфантеном, который, будучи провозглашён «Верховным Отцом», фактически превратил движение в узкую религиозную секту и активно проповедовал весьма радикальные взгляды на отношения между полами (совершенно неприемлемые для Родрига, для которого брак с Эфрази был основой всей его жизни). Впрочем, расставшись с сенсимонистским движением, Родриг оставался верным социалистическим идеалам до самой смертиШаблон:Sfn.
В 1840-е гг. Родриг активно выступал в печати в поддержку рабочего движения и за упразднение рабства; приветствовал Революцию 1848 года. Умер он в Париже 17 декабря 1851 г. и был похоронен на кладбище Пер-ЛашезШаблон:Sfn.
Научная деятельность
Основные работы Родрига относятся к механике, геометрии и теории чиселШаблон:Sfn.
Исследования по геометрии
В 1815 г. Родриг доказал важную теорему теории поверхностей — теорему Родрига, по которой необходимым и достаточным условием того, что направление является главным, служит выполнение для дифференциала радиус-вектора <math>\mathbf{r}</math> точки поверхности в этом направлении условия
- <math>{\rm d}\mathbf{n}\;=\;-k\,{\rm d}\mathbf{r}\,\,,</math>
где <math>\mathbf{n}</math> — вектор единичной нормали, <math>k</math> — нормальная кривизна поверхности в рассматриваемом направлении[3][4] (приведённое условие сам Родриг записывал в координатной форме).
В 1816 г. Родриг в уже упоминавшейся статье «О притяжении сфероидов»Шаблон:Sfn опубликовал полученную им для многочленов Лежандра формулу (формула Родрига), дающую явное выражение для этих многочленов[5] Данная формула для многочлена Лежандра степени <math>n</math> может быть записана[6] так:
- <math>P_n(x)\;=\;\frac{1}{2^nn!}\,\,\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}\,(x^2-1)^n\,\,.</math>
Исследования по механике
Изучение принципа Лагранжа
В 1816 г. Родриг опубликовал заметку «О способе применения принципа наименьшего действия для вывода уравнений движения, отнесённых к независимым переменным»Шаблон:Sfn, посвящённую исследованию принципа наименьшего действия в формулировке Лагранжа. В ней Родриг впервые явно оговорил[7] асинхронный характер варьирования переменных в принципе Лагранжа. Проблему существования условного экстремума интеграла действия в форме Лагранжа Родриг свёл к задаче нахождения безусловного экстремума функционала, в котором подынтегральная функция записывается как сумма удвоенной кинетической энергии <math>T</math> механической системы и умноженного на неопределённый множитель Лагранжа <math>\lambda</math> выражения <math>T+\Pi-h</math> (где <math>\Pi</math> — потенциальная энергия, <math>h</math> — постоянная в интеграле энергии). Такое исследование Родриг провёл для случая системы свободных материальных точек и получил при этом уравнения движения системы; позднее Ф. А. Слудский распространил данное исследование на случай системы со стационарными связямиШаблон:Sfn.
Формула поворота Родрига
В 1840 г. Родриг в статье «О геометрических законах, управляющих перемещениями неизменяемой системы в пространстве, и об изменении координат, обусловленном этими перемещениями, рассматриваемыми независимо от причин, которые могут их вызывать»Шаблон:Sfn доказал формулу поворота Родрига. Эта формула, которая приводится здесь в современной векторной записи, описывает изменение положения точки абсолютно твёрдого тела после его поворота на конечный угол <math>\varphi</math> вокруг неподвижной оси с единичным вектором <math>\mathbf{e}</math> . Если <math>O</math> — взятый на оси поворота полюс, <math>\mathbf{r}=\overline{OA}</math> и <math>\mathbf{r\,'}=\overline{OA\,'}</math> — радиус-векторы начального и конечного положений точки, то формула поворота Родрига записываетсяШаблон:Sfn в виде:
- <math>(*)\qquad \mathbf{r\,'}\;=\;\,\mathbf{r}\,+\,\frac{2}{1+\theta^{\,2}}\,\bigl[\,\boldsymbol{\theta},\,\mathbf{r}+[\,\boldsymbol{\theta},\,\mathbf{r}\,]\bigr]\,\,,</math>
где квадратные скобки обозначают операцию векторного умножения, а <math>\boldsymbol{\theta}</math> — вектор конечного поворота, определяемый формулой
- <math>\boldsymbol{\theta}\;=\;\mathbf{e}\,\theta\,\;\equiv\;\mathbf{e}\,\,{\rm tg}\,\frac{\varphi}{2}\,\,.</math>
Формула <math>(*)</math> не может быть непосредственно использована для численных расчётов в случае, когда тело совершаетШаблон:Sfn полуоборот). Если при движении твёрдого тела подобные повороты не исключаются, применяютШаблон:Sfn другой — менее компактный — вариант формулы поворота Родрига, в котором вместо вектора конечного поворота <math>\boldsymbol{\theta}</math> фигурируют непосредственно угол <math>\varphi</math> и единичный вектор <math>\mathbf{e}</math> :
- <math>(**)\qquad \mathbf{r\,'}\;=\;\,\mathbf{r}\,+\,(1-\cos{\varphi})\,\bigl[\,\mathbf{e},\,[\,\mathbf{e},\,\mathbf{r}\,]\bigr]\,+\,\sin{\varphi}\,\,[\,\mathbf{e},\,\mathbf{r}\,]\,\,.</math>
Параметры Родрига — Гамильтона
В той же работе 1840 года Родриг применил для описания изменения ориентации твёрдого тела набор из четырёх скалярных параметров, определяемых[8]Шаблон:Sfn следующим образом:
- <math>\lambda_0\;=\;e_0\,\sin{\frac{\varphi}{2}}\,,\;\; \lambda_1\;=\;e_1\,\sin{\frac{\varphi}{2}}\,,\;\; \lambda_2\;=\;e_2\,\sin{\frac{\varphi}{2}}\,,\;\; \lambda_3\;=\;\cos{\frac{\varphi}{2}}\,\,,</math>
где <math>e_0,\,e_1,\,e_2</math> — направляющие косинусы оси поворота (т.е. компоненты вектора <math>\mathbf{e}</math>) в декартовой системе координат <math>Oxyz</math>. Данные параметры удовлетворяют условию
- <math>\lambda_0^2+\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2\;=\;1\,\,,</math>
а компоненты вектора конечного поворота <math>\boldsymbol{\theta}</math> выражаются через них[8] так:
- <math>\theta_0\;=\;\frac{\lambda_0}{\lambda_3},\;\; \theta_1\;=\;\frac{\lambda_1}{\lambda_3},\;\; \theta_2\;=\;\frac{\lambda_2}{\lambda_3}\,\,.</math>
Ныне эти параметры называютШаблон:Sfn параметрами Эйлера или параметрами Родрига — Гамильтона. Разнобой в терминологии объясняется так[9]: впервые данные параметры были введены Эйлером в 1770 г., но соответствующая работа Эйлера внимания математиков не привлекла; Родриг, переоткрывший их (о работе Эйлера он не знал) в 1840 г., уже умел — в отличие от Эйлера — вычислять значения этих параметров для суперпозиции двух поворотов вокруг различных осей; Гамильтон же в 1853 г. дал им чёткую интерпретацию в рамках разрабатывавшейся им начиная с 1843 года теории кватернионов (оказалось, что они представляют собой компоненты кватерниона поворота[10], а суперпозиции двух поворотов отвечает кватернионное произведение соответствующих кватернионов поворота).
При нахождении указанной суперпозиции полезным оказывается впервые доказанноеШаблон:Sfn Родригом следующее утверждение (ныне известное[11] как теорема Родрига — Гамильтона): три последовательных поворота вокруг трёх неподвижных прямых, проходящих через одну точку, на углы, равные соответственно удвоенным углам между плоскостями, образуемыми данными прямыми, возвращают тело в исходную конфигурацию.
Публикации
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- Статья «Olinde Rodrigues» на сайте потомков Моисея Родригеса-Энрикеса (жил в XVII веке)
- ↑ Altmann S. Rotations, Quaternions and Double Groups. — Oxford: Clarendon Press, 1986. — ISBN 0-19-855372-2.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 95.
- ↑ Соколов Д. Д. Кривизна // Математическая энциклопедия. Т. 3. — Шаблон:М.: Сов. энциклопедия, 1982. — 1184 стб. — Стб. 96—102.
- ↑ Шикин Е. В. Главное направление // Математическая энциклопедия. Т. 1. — Шаблон:М.: Сов. энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 1015.
- ↑ Суетин П. К. Родрига формула // Математическая энциклопедия. Т. 4. — Шаблон:М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1216 стб. — Стб. 1050.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 625.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 234.
- ↑ 8,0 8,1 Шаблон:Книга — С. 448.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 530.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 156.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 15.
