Русская Википедия:Род многообразия

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Род многообразия — гомоморфизм кольца кобордизмов замкнутых многообразий в некоторое кольцо, обычно кольцо рациональных чисел.

Определение

Род φ выбирает элемент φ(X) из некоторого кольца K для каждого многообразия X так, что

1. φ(X∪Y) = φ(X) + φ(Y) (где ∪ — несвязное объединение)
2. φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
3. φ(X) = 0, если X кобордантно нулю.

При этом рассматриваемые многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой, например, ориентацией или спинорной структурой.

Кольцо K обычно является полем рациональных чисел, но также рассматривают <math>\Z_2</math> и кольцо модулярных форм.

Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо.

Род формальных степенных рядов

Последовательность многочленов K₁, K₂,... от переменных р₁,р₂,... называется Шаблон:Нп1, если из

<math>1 + p_1z + p_2z^2 + \ldots = (1 + q_1z + q_2z^2 + \ldots) (1 + r_1z + r_2z^2 + \ldots)</math>

следует

<math>\sum_i K_i(p_1,p_2,\ldots)z^i = \sum_j K_j (q_1,q_2,\ldots) z^j\cdot \sum_k K_k (r_1,r_2,\ldots)z^k.</math>

Если Q(z) представляет собой формальный степенной ряд от z со свободным членом 1, мы можем определить мультипликативные последовательности

<math>K(p_1,p_2,p_3,\ldots) = 1+ K_1 (p_1) + K_2(p_1,p_2) + \ldots</math>

как

<math>K(p_1,p_2,p_3,\ldots) = Q(z_1)Q(z_2)Q(z_3)\ldots,</math>

где p_k — это k-я элементарная симметрическая функция с неизвестными <math>z_i</math>.

Род φ ориентированных многообразий, соответствующий степенному ряду Q, определяется как

<math>\Phi(X) = K(p_1,p_2,p_3,\cdots)</math>

где p_k есть k-й класс Понтрягина многообразия X. При этом степенной ряд Q называется характеристическим рядом рода φ. 

Примеры

L-род и сигнатура

L-род определяется характеристическим рядом

<math>{\sqrt{z}\over \operatorname{th}(\sqrt z)} = \sum_{k\geqslant 0} {2^{2k}B_{2k}z^k\over (2k)!}

= 1 + {z \over 3} - {z^2 \over 45} +\ldots </math>

где <math>B_{2k}</math> — числа Бернулли. Первые несколько значений:

• <math>L_0 = 1</math>
• <math>L_1 = \tfrac13 p_1</math>
• <math>L_2 = \tfrac1{45}(7p_2 - p_1^2)</math>
• <math>L_3 = \tfrac1{945}(62 p_3-13 p_1 p_2+2 p_1^3)</math>
• <math>L_4 = \tfrac1{14175}(381 p_4-71 p_1 p_3-19 p_2^2+22 p_1^2 p_2-3 p_1^4)</math>

Если M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4n с классами Понтрягина <math> p_i = p_i(M) </math>, то значение L-рода на фундаментальном классе <math>[M]</math> равно сигнатуре  <math>\sigma(M)</math>, то есть

<math>\sigma(M) = L_n([M])</math>.

Тот факт, что L₂ всегда целочисленный для гладких многообразий, использовал Джон Милнор в доказательстве существования кусочно-линейного 8-мерного многообразия без гладкой структуры. 

Â-род

Â-род определяется характеристическим рядом

<math>Q(z) = {\sqrt z/2\over \operatorname{sh}(\sqrt{z}/2)}= 1 - z/24 + 7z^2/5760 -\ldots.</math>

 Первые несколько значений

• <math>\hat{A}_0 = 1</math>
• <math>\hat{A}_1 = -\tfrac1{24}p_1</math>
• <math>\hat{A}_2 = \tfrac1{5760}(-4p_2 + 7 p_1^2)</math>
• <math>\hat{A}_3 = \tfrac1{967680}(-16p_3 + 44p_2p_1 - 31 p_1^3)</math>
• <math>\hat{A}_4 = \tfrac1{464486400}(-192p_4 +512 p_3p_1 +208p_2^2 -904p_2p_1^2 +381p_1^4)</math>

Свойства

• Â-род спинорного многообразия есть целое число,
  • Â-род спинорного многообразия размерности <math>4 \pmod 8</math> — чётное целое число.  
• Â-род спинорного многообразия равен индексу оператора Дирака.
• Если компактное спинорное  многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны, то его Â-род равен нулю.

См. также

• Теорема Атьи — Зингера об индексе

Ссылки

• Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry ISBN 3-540-58663-6
• Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN 3-528-06414-5
• Milnor, Stasheff, Characteristic classes, ISBN 0-691-08122-0
• A.F. Kharshiladze (2001), "Pontryagin class"Шаблон:Недоступная ссылка, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Elliptic genera"Шаблон:Недоступная ссылка, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4