Русская Википедия:Ромбоусечённый икосододекаэдр
Ромбоусечённый икосододека́эдрШаблон:Sfn или усечённый икосододека́эдрШаблон:SfnШаблон:Sfn — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников.
В каждой из его 120 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань, одна шестиугольная и одна десятиугольная. Телесный угол при вершине равен в точности <math>\frac32\pi.</math>
Имеет 180 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) двугранные углы равны <math>\arccos\left(-\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{6}\right) \approx 159{,}09^\circ,</math> при 60 рёбрах (между квадратной и десятиугольной гранями) <math>\arccos\left(-\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{10}}\right) \approx 148{,}28^\circ,</math> при 60 рёбрах (между шестиугольной и десятиугольной гранями) <math>\arccos\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142{,}62^\circ.</math>
Название «усечённый икосододекаэдр», которое первоначально дал этому многограннику Кеплер, способно ввести в заблуждение. Дело в том, что в результате операции усечения, «срезав» с икосододекаэдра 30 четырёхугольных пирамид, можно получить лишь несколько иной многогранник, четырёхугольные грани которого — золотые прямоугольники, а не квадраты. Полученный многогранник полуправильным не является; впрочем, он изоморфен настоящему ромбоусечённому икосододекаэдру и может быть превращён в таковой при помощи небольшой деформации.
В координатах
Ромбоусечённый икосододекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел
- <math>(\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi+3)),</math>
- <math>(\pm(2\Phi-2);\;\pm\Phi;\;\pm(2\Phi+1)),</math>
- <math>(\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi+1);\;\pm(3\Phi-1)),</math>
- <math>(\pm(2\Phi-1);\;\pm2;\;\pm(\Phi+2)),</math>
- <math>(\pm\Phi;\;\pm3;\;\pm2\Phi),</math>
где <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> — отношение золотого сечения.
Начало координат <math>(0;0;0)</math> будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Метрические характеристики
Если ромбоусечённый икосододекаэдр имеет ребро длины <math>a</math>, его площадь поверхности и объём выражаются как
- <math>S = 30 \left (1 + \sqrt3 + \sqrt{5 + 2\sqrt5} \right) a^2 \approx 174{,}2920303a^2,</math>
- <math>V = ( 95 + 50\sqrt5 ) a^3 \approx 206{,}8033989a^3.</math>
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
- <math>R = \frac{1}{2} \sqrt{31+12\sqrt5}\;a \approx 3{,}8023945a;</math>
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
- <math>\rho = \sqrt{\frac{15}{2}+3\sqrt5}\;a \approx 3{,}7693771a.</math>
Вписать в ромбоусечённый икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоусечённого икосододекаэдра с ребром <math>a</math> (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен
- <math>r_{10} = \frac{1}{2} \sqrt{25+10\sqrt5}\;a \approx 3{,}4409548a.</math>
Расстояния от центра многогранника до шестиугольных и квадратных граней превосходят <math>r_{10}</math> и равны соответственно
- <math>r_6 = \frac{1}{2} \sqrt{27+12\sqrt5}\;a \approx 3{,}6685425a,</math>
- <math>r_4 = \frac{1}{2} \sqrt{29+12\sqrt5}\;a \approx 3{,}7360680a.</math>
Примечательные свойства
Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона с заданной длиной ребра ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольший объём, наибольшую площадь поверхности и наибольший диаметр.
Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней — здесь первое место занимает курносый додекаэдр).
Примечания
Ссылки
Литература
