Изучал медицину в университетах Вюрцбурга, Мюнхена, Берлина и Праги, в 1865 году получил докторскую степень. В 1869 году получил квалификацию преподавателя фармакологии в университете Вюрцбурга, где в 1874 году стал адъюнкт-профессором. С 1882 года — профессор специальной патологии и терапии и директор медицинской клиники Йенского университета, преемник Германа Нотнагеля.
В 1892 году оставил преподавательскую деятельность в Йене по состоянию здоровья.
Много работал преимущественно в области фармакологии. Ему принадлежит сочинение о физических способах лечения, вместе с Г. Нотнагелем им написано популярное руководство: «Handbuch der Arzneimittellehre», выдержавшее в подлиннике 7 изданий и переведенное почти на все языки.
Опубликовал "Учебник физических средств"; «Фармакологические исследования» (3 т.); «О секреции слизи», а также многочисленные отдельные работы по клинической медицине, особенно по болезням гортани, а также другие трактаты по физиологии и фармакологии.
Его именем названа «болезнь Росбаха», желудочное расстройство, более известное как Гиперхлоргидрия.
Избранные труды
Physiologie und Pathologie der menschlichen Stimme; auf Grundlage der neuesten akustischen Leistungen, 1869.
Pharmakologische Untersuchungen, 2 т. 1873-76.
Lehrbuch der physikalischen Heilmethoden für Aerzte und Studirende, 1882.
Ueber den gegenwärtigen Stand der internen Therapie und den therapeutischen Unterricht an den deutschen Hochschulen, 1883.