Русская Википедия:Росток (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение

Пусть задана точка <math>x</math> топологического пространства <math>X</math> и два отображения <math>f,\;g:X\to Y</math> в любое множество <math>Y</math>. Тогда говорят, что <math>f</math> и <math>g</math> задают один и тот же росток в <math>x</math>, если есть окрестность <math>U</math> точки <math>x</math>, такая что ограничение <math>f</math> и <math>g</math> на <math>U</math> совпадают. То есть,

<math>f|_U=g|_U</math>

(что означает <math>\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')</math>).

Аналогично говорят о двух подмножества <math>S,\;T\subset X</math>: они определяют один и тот же росток в <math>x</math>, если существует окрестность <math>U</math>, такая что:

<math>S\cap U=T\cap U.</math>

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке <math>x</math> есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно <math>f\sim_x g</math> или <math>S\sim_x T</math>.

Росток данного отображения <math>f</math> в точке <math>x</math> обычно обозначают <math>[f]_x</math>. Аналогично, росток, задаваемый множеством <math>S</math>, обозначают <math>[S]_x</math>.

<math>[f]_x=\{g:X\to Y\mid g\sim_x f\}.</math>

Росток, отображающий точку <math>x\in X</math> в точку <math>y\in Y</math> пишут <math>(X,\;x)\to(Y,\;y)</math>, таким образом <math>f</math> является целым классом эквивалентности отображений, и под <math>f</math> принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):

<math>S\sim_x T\Longleftrightarrow\mathbf{1}_S\sim_x\mathbf{1}_T.</math>

Литература

• Шаблон:Книга