Русская Википедия:Ряды Эйзенштейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Определение

Ряд Эйзенштейна <math>G_{2k}</math> веса <math>2k</math> — функция, определённая на верхней полуплоскости <math>\{Im(\tau)>0\}\subset \Complex</math> и заданная как сумма ряда

<math>

G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}. </math>

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной <math>\tau</math>.

Свойства

Модулярность

Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса <math>2k</math>: для любых целых <math> a,b,c,d \in \mathbb{Z}</math> с <math> ad-bc=1</math> имеем

<math>

G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau). </math>

Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки <math>\Gamma=\langle 1,\tau \rangle</math>, продолжив его на всё пространство решёток:

<math>

G_{2k}(\Gamma)=\sum_{z\in \Gamma\setminus \{0\} } z^{-2k}. </math> Тогда <math>G_{2k}(\lambda \Gamma) = \lambda^{-2k} G_{2k}(\Gamma).</math> Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса <math>\{\tau,1\}</math> к базису <math>\{a\tau+b,c\tau+d\}</math> той же решётки (что не изменяет значения <math>G_{2k}(\Gamma)</math>) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Представление модулярных форм

Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса <math>2m</math>) выражается как полином от <math>G_4</math> и <math>G_6</math>:

<math>

f=\sum_{4k+6l=2m} a_{k} G_4^k G_6^l. </math>

Связь с эллиптическими кривыми

<math>\wp</math>-функция Вейерштрасса эллиптической кривой <math>E=\Complex/\Gamma</math> раскладывается в ряд Лорана в нуле как

<math>

\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2}(\Gamma) z^{2k}. </math> В частности, модулярные инварианты кривой E равны

<math>g_2 = 60 G_4, \quad g_3 = 140 G_6.</math>

Литература

• А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
• Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
• Кубота Т. Элементарная теория рядов Эйзенштейна. - Шаблон:М., Наука, 1986. - 136 c.