Русская Википедия:Ряд Дайсона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ряд Дайсона — ряд возмущений в теории рассеяния, каждый из членов которого можно изобразить в виде диаграммы Фейнмана. Ряд носит имя Фримена Дайсона и в целом расходится, однако, уже второй член этого ряда в квантовой электродинамике позволяет получить точность до 10⁻¹⁰ благодаря малости постоянной тонкой структуры.

Построение ряда Дайсона использует понятие временного упорядочения.

Система

Изучается система, описывается гамильтонианом, который является суммой невозмущенной части и возмущения:

<math> \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V} </math>

В представлении взаимодействия оператор эволюции волновой функции <math> \hat{U}(t, t_0) </math> удовлетворяет уравнению Томонаги — Швингера

<math> i\hbar \frac{\hat{U}(t, t_0)}{dt} = \hat{V}(t)\hat{U}(t, t_0) </math>,

где

<math> \hat{V}(t) = e^{i/\hbar \hat{H}_0 t} \hat{V} e^{-i/\hbar \hat{H}_0 t}, </math>

или интегродифференциальному уравнению

<math> \hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1)\hat{U}(t_1, t_0) dt_1 </math>

Подставляя оператор эволюции из левой части в правую, можно получить бесконечный ряд:

<math> \hat{U}(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \hat{V}(t_1) dt_1 + \frac{(-i)^2}{\hbar^2} \int_{t_0}^t \int_{t_0}^{t_1} \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) dt_1 dt_2 + \ldots </math>

Предложение Дайсона

Дайсон предложил расширить интегрирования в каждом интеграле от <math> t_0 </math> до <math> t </math>, но требовать, чтобы операторы всегда были упорядочены во времени, то есть в произведении <math> \hat{V}(t_1) \hat{V}(t_2) </math>, всегда было <math> t_1 > t_2</math>. Тогда каждый из слагаемых ряда увеличится в <math> n! </math> раз.

В результате n-ный член ряда будет выглядеть:

<math>\hat{U}_n=\frac{(-i)^n}{ n! \hbar^n}\int_{t_0}^t{dt_1\int_{t_0}^t{dt_2\cdots\int_{t_0}^t{dt_n\mathcal T\hat{V}(t_1)\hat{V}(t_2)\cdots \hat{V}(t_n)}}}.</math>,

где <math> \mathcal T </math> — оператор временного упорядочивания.

Как следствие, ряд Дайсона можно записать в компактном виде:

<math>\hat{U}(t,t_0)=\sum_{n=0}^\infty \hat{U}_n(t,t_0)=\mathcal Te^{-i/\hbar \int_{t_0}^t{d\tau \hat{V}(\tau)}}.</math>

Источники

• Шаблон:Книга