Русская Википедия:Ряд Дирихле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения термина Рядом Дирихле называется ряд вида

<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},</math>

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число <math>\sigma_c</math>, что при <math>\operatorname{Re} s > \sigma_c</math> он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число <math>\sigma_a</math>, что при <math>\operatorname{Re} s > \sigma_a</math> ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение <math>0 \leqslant \sigma_a - \sigma_c \leqslant 1</math> (если <math>\sigma_c</math> и <math>\sigma_a</math> конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке <math>s_0 = \sigma_0 + t_0 i</math>, то этот же ряд сходится в любой точке <math>s = \sigma + t i</math>, для которой <math>\sigma > \sigma_0</math>. Из этого следует, что существует некоторая точка <math>\sigma = \sigma_c</math> такая, что при <math>\operatorname{Re} s > \sigma_c</math> ряд сходится, а при <math>\operatorname{Re} s < \sigma_c</math> — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда <math>\sum \limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</math> называется точка <math>\sigma_a</math> такая, что при <math>\operatorname{Re} s > \sigma_a</math> ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что <math>0 \leqslant \sigma_a - \sigma_c \leqslant 1</math>.

Поведение функции при <math>\operatorname{Re} s</math> может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка <math>s = \sigma_c</math> является особой для некоторого ряда Дирихле, если <math>\sigma_c</math> — его абсцисса сходимости.

Примеры

• При <math>\operatorname{Re}\,s> 1</math>
  • <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s},</math> где <math>\zeta(s)</math> — дзета-функция Римана.
  • <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \mu(n)</math> — функция Мёбиуса
  • <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\lambda(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \lambda(n)</math> — функция Лиувиля
  • <math>\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \tau(n)</math> — число делителей числа <math>\displaystyle n</math>
  • <math>\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{|\mu(n)|}{n^s}</math>
  • <math>\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \nu(n)</math> — число простых делителей числа <math>\displaystyle n</math>
  • <math>\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n^2)}{n^s}</math>
  • <math>\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tau(n))^2}{n^s}</math>
• При <math>\operatorname{Re}\,s> 2</math>
  • <math>\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\varphi(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \varphi(n)</math> —функция Эйлера
• <math>\frac{1}{L(\chi, s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s},</math> где <math>L(\chi, s)</math> — L-функция Дирихле.

• <math>\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s},</math> где Li_s(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots</math>

расходится.