Русская Википедия:Ряд Лейбница
Ряд Лейбница — знакочередующийся ряд, названный именем исследовавшего его немецкого математика Лейбница (хотя этот ряд был известен и раньше):
- <math>1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{21} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1}.</math>
Сходимость этого ряда сразу следует из теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Лейбниц показал, что сумма ряда равна <math>\frac{\pi}{4}.</math> Это открытие впервые показало, что число <math>\pi</math>, первоначально определённое в геометрии, на деле является универсальной математической константой; в дальнейшем этот факт постоянно находил новые подтверждения.
Скорость сходимости
Ряд Лейбница сходится крайне медленно. Нижеследующая таблица иллюстрирует скорость сходимости к <math>\pi</math> ряда, умноженного на 4.
| n (число членов ряда) |
<math>4 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{2k+1}</math> (частичная сумма, верные знаки выделены чёрным цветом) |
Относительная точность |
|---|---|---|
| 2 | 2,666666666666667 | 0,848826363156775 |
| 4 | 2,895238095238095 | 0,921582908570213 |
| 8 | 3,017071817071817 | 0,960363786700453 |
| 16 | 3,079153394197426 | 0,980124966449415 |
| 32 | 3,110350273698686 | 0,990055241612751 |
| 64 | 3,125968606973288 | 0,995026711499770 |
| 100 | 3,131592903558553 | 0,996816980705689 |
| Шаблон:Num | 3,140592653839793 | 0,999681690193394 |
| Шаблон:Num | 3,141492653590043 | 0,999968169011461 |
| Шаблон:Num | 3,141582653589793 | 0,999996816901138 |
| Шаблон:Num | 3,141591653589793 | 0,999999681690114 |
| Шаблон:Num | 3,141592553589793 | 0,999999968169011 |
| Шаблон:Num | 3,141592643589793 | 0,999999996816901 |
| Шаблон:Num | 3,141592652589793 | 0,999999999681690 |
История
Ряд Лейбница легко получить через разложение арктангенса в ряд ТейлораШаблон:Sfn:
- <math>\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots </math>
Положив <math>x = 1,</math> мы получаем ряд Лейбница.
Ряд Тейлора для арктангенса впервые открыл индийский математик Мадхава из Сангамаграмы, основатель Керальской школы астрономии и математики (XIV век). Мадхава использовал ряд[1][2] для вычисления числа <math>\pi</math>. Однако ряд Лейбница с <math>x=1,</math> как показано выше, сходится крайне медленно, поэтому Мадхава положил <math>x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> и получил гораздо быстрее сходящийся рядШаблон:Sfn:
- <math>\pi = \sqrt{12} \left(1 - \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \dots\right).</math>
Сумма первых 21 слагаемых даёт значение <math>3{,}14159265359</math>, причём все знаки, кроме последнего, верны[3].
Труды Мадхавы и его учеников не были известны в Европе XVII века, и разложение арктангенса было независимо переоткрыто Джеймсом Грегори (1671) и Готфридом Лейбницем (1676). Поэтому некоторые источники предлагают называть данный ряд «рядом Мадхавы — Лейбница» или «рядом Грегори — Лейбница». Грегори, впрочем, не связал этот ряд с числом <math>\pi.</math>
Ускорение сходимости
Ещё одна модификация ряда Лейбница, делающая его практически пригодным для вычисления <math>\pi</math> — попарное объединение членов ряда. В результате получим следующий ряд:
- <math>
\frac{\pi}{4} =
\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{4n + 1} - \frac{1}{4n + 3}\right) =
\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(4n + 1)(4n + 3)}.
</math>
Для дальнейшей оптимизации вычислений можно применить формулу Эйлера — Маклорена и использовать методы численного интегрирования.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Последовательности и ряды
