Русская Википедия:Ряд Лорана
Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.
Определение
Ряд Лорана в конечной точке <math>z_{0}\in\mathbb C</math> — функциональный ряд по целым степеням <math>(z-z_{0})</math> над полем комплексных чисел:
- <math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n,\quad</math> где переменная <math>z\in{\mathbb C}\setminus\{z_{0}\}</math>, а коэффициенты <math>c_n\in\mathbb C</math> для <math>n\in\mathbb Z</math>.
Этот ряд является суммой двух степенных рядов:
- <math>\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n</math> — часть по неотрицательным степеням <math>(z-z_{0})</math>,
- <math>\sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^n}</math> — часть по отрицательным степеням <math>(z-z_{0})</math>.
Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.
Если <math>A_{z_{0}} \subseteq ({\mathbb C}\setminus\{z_{0}\})</math> — область сходимости ряда Лорана такая, что <math>z_{0}\in\partial{A_{z_{0}}}</math>, то для <math>A_{z_{0}}</math>
- ряд <math>\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n</math> называется правильной частью,
- ряд <math>\sum_{n=-\infty}^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^n}</math> называется главной частью.
Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке <math>z_{0}=\infty \in\overline{\mathbb C}</math> — функциональный ряд по целым степеням <math>z</math> над полем комплексных чисел:
- <math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n z^n,\quad</math> где переменная <math>z\in\mathbb C\setminus\{0\}</math>, а коэффициенты <math>c_n\in\mathbb C</math> для <math>n\in\mathbb Z</math>.
По внешнему виду ряд для <math>z_{0}=\infty</math> совпадает с рядом для <math>z_{0}=0</math>, однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены <math>z \leftrightarrow \frac{1}{\zeta}</math> для <math>\zeta_{0}=0</math>.
Если <math>A_{\infty} \subseteq ({\mathbb C}\setminus\{0\})</math> — область сходимости ряда Лорана такая, что <math>\infty\in\partial{A_{\infty}}</math>, то для <math>A_{\infty}</math>
- ряд <math>\sum_{n=-\infty}^{0}c_n z^n</math> называется правильной частью,
- ряд <math>\sum_{n=+1}^{+\infty}{c_{n}}{z^n}</math> называется главной частью.
Свойства
- Часть по положительным степеням <math>(z-z_{0})</math> сходится во внутренности <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> круга радиуса <math>R = \dfrac{1}{ {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |c_n|^{1/n} } \in [0; +\infty]</math>,
- часть по отрицательным степеням <math>(z-z_{0})</math> сходится во внешности <math>\Delta_{r}=\overline{\mathbb C}\setminus\overline{D}_{r}=\{z\in\overline{\mathbb C}: |z-z_{0}|> r\}</math> круга <math>D_{r}</math> радиуса <math>r = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}} \, |c_{-n}|^{1/n} \in [0; +\infty]</math>.
- Поэтому, если <math>r<R\,</math>, то внутренность <math>A</math> области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо
- <math>A= \{z\in\mathbb C\mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty\}=\Delta_{r} \cap D_{R}</math>.
- Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности <math>C_{R}(z_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|= R\}</math> зависит только от <math>\sum_{n=n_{s}}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n</math> для произвольного <math>n_{s}\in\mathbb N</math>,
- а в точках граничной окружности <math>C_{r}(z_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|= r\}</math> — только от <math>\sum_{n=-\infty}^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^n}</math> для произвольного <math>n_{s}\in\mathbb N</math>.
- Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца <math>A</math> может быть разнообразным.
- Во всех точках кольца <math>A</math> ряд Лорана сходится абсолютно.
- На любом компактном подмножестве <math>K\subset A</math> ряд сходится равномерно.
- Для каждой точки <math>\zeta_{0} \in A</math> существует такое значение <math>\rho(\zeta_{0})=\min\{\textrm{dist}(C_{r}(z_{0}), \zeta_{0}), \textrm{dist}(C_{R}(z_{0}), \zeta_{0})\} >0</math>, что <math>D_{\rho}(\zeta_{0})=\{z\in\mathbb C: |z-\zeta_{0}|< \rho(\zeta_{0})\}\subset A</math>, и ряд Лорана <math>f(z)</math> может быть записан в виде сходящегося в <math>D_{\rho}(\zeta_{0})</math> ряда по степеням <math>(z-\zeta_{0})</math>:
- <math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n=\sum_{k=0}^{+\infty}t_k(\zeta_{0})(z-\zeta_{0})^k,\quad</math> где <math>z \in D_{\rho}(\zeta_{0})</math>, а <math>t_k(\zeta_{0})=\frac{f^{(k)}(\zeta_{0})}{k!}</math> для <math>k\in\{0\}\cup\mathbb N</math>,
- т.е. <math>\zeta_{0}</math> является для <math>f(z)</math> правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в <math>A</math> есть аналитическая функция <math>f(z)</math>.
- Для <math>0<r<R<+\infty</math> на граничных окружностях кольца сходимости <math>A</math> существуют непустые множества <math>I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})</math>, <math>I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})</math> точек, не являющихся для <math>f(z)</math> правильными.
- Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном <math>K\subset A</math> почленно.
- Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в <math>A</math> функцию только при <math>c_{-1} = 0</math>, поскольку для любого <math>\rho >0</math> значение <math>\int\limits_{\;\,|z-z_{0}|=\rho}c_{n} (z-z_{0})^{n}\cdot dz=
\left\{ \begin{array}{ll} c_{-1}\cdot 2\pi i\, , & n=-1\, ; \\ 0\, , & n\neq -1\, . \end{array} \right. </math>
- Ряд <math>\sum_{n=-\infty, n \neq -1}^{+\infty}c_n(z-z_{0})^n\,</math>, представляющий в двусвязной области <math>A</math> функцию <math>f(z)-\frac{c_{-1}}{z-z_{0}}\,</math>, для любого компактного <math>K\subset A</math> и любой спрямляемой ориентированной кривой <math>\gamma \subset K</math> можно интегрировать по <math>\gamma</math> почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек <math>\gamma</math> и не зависит от формы кривой <math>\gamma</math>.
- Коэффициенты <math>(c_n)_{n\in \mathbb Z}</math> ряда Лорана <math>f(z)</math> удовлетворяют соотношениям
- <math>c_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}=\frac1{2\pi i}\int\limits_{|z-z_{0}|=\rho}\frac{f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}</math>,
- где <math>\gamma</math> — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном <math>K\subset A</math> и один раз обходящая против часовой стрелки точку <math>z_{0}</math>. В частности, в качестве <math>\gamma</math> можно взять любую окружность <math>C_{\rho}=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0; 2\pi]\}</math> радиуса <math>\rho \in (r; R)</math> с центром в <math>z_{0}</math>, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр <math>t</math> должен возрастать).
- Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням <math>(z-z_{0})</math>, сходящихся в <math>A_{1}</math> и <math>A_{2}</math> соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности <math>C_{\rho}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|=\rho\} \subset (A_{1} \cap A_{2})</math> или на гомотопной ей по <math>A_{1} \cap A_{2}</math> спрямляемой кривой <math>\gamma \sim C_{\rho}</math>, то совпадают все коэффициенты этих рядов.
Теорема Лорана
Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:
- Любая функция <math>f(z)</math>, являющаяся однозначной и аналитической в кольце <math>A= \{z\in\mathbb C\mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty\}</math>, представима в <math>A</math> сходящимся рядом Лорана по степеням <math>(z-z_{0})</math>.
Представление однозначной аналитической функции <math>f(z)</math> в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности <math>A_{z_{0}}</math> изолированной особой точки:
1) если точка <math>z_{0}\neq \infty</math>, то существует радиус <math>R_{z_{0}}\in (0; +\infty]</math> такой, что в проколотой окрестности
- <math>A_{z_{0}}= \{z\in\mathbb C\mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad</math>
функция <math>f(z)</math> представима (сходящимся) рядом Лорана;
2) если точка <math>z_{0}= \infty</math>, то существует радиус <math>r_{\infty}\in [0; +\infty)</math> такой, что в проколотой окрестности
- <math>A_{\infty}= \{z\in\mathbb C\mid r_{\infty}<|z|<\infty\}</math>
функция <math>f(z)</math> представима (сходящимся) рядом Лорана.
Тип изолированной особой точки <math>z_{0}</math> определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности <math>A_{z_{0}}</math>:
- Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
- Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
- Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.
Литература
Шаблон:Последовательности и ряды
