Русская Википедия:Ряд Меркатора

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:LogTay.svg

Сходимость ряда Меркатора к <math>\ln(1+x)</math> (показанной оранжевым) в окрестности нуля для 4, 7, 11, 16 членов ряда

Ряд Мерка́тора (иногда называемый ряд Ньютона — Меркатора) в математическом анализе — ряд Тейлора для функции натурального логарифма, впервые опубликованный немецким математиком Николасом Меркатором (Кауфманом) в трактате «Logarithmotechnia» (Шаблон:Год):

<math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n</math>

Лейбниц за это открытие назвал Меркатора «первым изобретателем бесконечных рядов»; до Меркатора европейские математики рассматривали почти исключительно числовые ряды, не содержащие переменных. Независимо от Меркатора этот ряд открыл Исаак Ньютон. В работе «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых» (1671, опубликован посмертно в 1736 году) Ньютон выразил удивление, что до Меркатора никто «не направил своего внимания на приложение к буквам [переменным] принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям».

Ряд Меркатора способствовал подъёму массового интереса к использованию бесконечных рядов и формированию общей теории рядов и функций. К концу XVII века эта тема существенно расширилась и превратилась в математический анализ.

Ряд Меркатора сходится при <math>-1<x \leqslant 1,</math> хотя сходимость довольно медленная. При <math>|x|<1</math> ряд сходится абсолютно.

История

Файл:Log-pole-x 1.svg

Площадь под гиперболой <math>y=1/x</math> в интервале <math>(1,a)</math> равна <math>\ln(a)</math>

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение <math>\ln 2</math> в бесконечный рядШаблон:Sfn:

<math>\ln 2 = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6} \dots</math>

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел».

В Шаблон:Год году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функцииШаблон:Sfn:

<math>\frac{1}{1+x} =1-x+x^2-x^3+\dots</math>

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений <math>x=0{,}1</math> и <math>x=0{,}21</math>. Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при <math>0\leqslant x<1</math> (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикацииШаблон:Sfn. Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов».

Вариации и обобщения

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

<math>\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)</math>

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число <math>z=\frac{1 + x}{1 - x}</math>, ибо тогда <math>x = \frac{z - 1}{z + 1}</math> по абсолютной величине меньше единицы. Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для <math>\ln 2</math> равна <math>0{,}646,</math> здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение <math>0{,}6931471805498,</math> в котором верны 10 знаков из 13.

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n}=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\cdots</math>

Это ряд Тейлора для комплексной функции <math>f(z)=-\ln(1-z),</math> где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма. Данный ряд сходится в круге <math>|z|\leqslant 1,z\ne 1</math>.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:H