Русская Википедия:Ряд Неймана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ряд Неймана — это ряд вида:

<math> \sum_{n=0}^{\infty} T^n,</math>

где <math>T</math> — это некоторый оператор. В этом случае <math>T^n</math> означает суперпозицию из <math>n</math> одинаковых операторов <math>T</math>. Если же <math>T</math> — элемент кольца, то <math>T^n</math> будет означать <math>n</math>-ю степень элемента <math>T</math>.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

<math>(I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}T^n,</math>

где <math>I</math> — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор <math>T</math>, действующий в банаховом пространстве <math>X</math>, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида <math>I-F</math>, где <math>\lambda_{max}(F) < 1</math> — максимальное собственное значение матрицы <math>F</math>.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида <math>1 - p</math>, где <math>p</math> — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

<math>\sum_{n=0}^{m-1} p^n,</math>

где <math>m</math> — индекс нильпотента <math>p</math>.

См. также

• Ряд Лиувилля — Неймана