Русская Википедия:Ряд Пеано
Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.
Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано[1] для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида[2]. Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером[3].
В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач[4]. В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.
Определение
Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):
<math>\int Y' dx = AY + F</math>,
где <math>Y</math> — вектор неизвестных функций, <math>A</math> — матрица коэффициентов <math>F</math> — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).
<math>Y = {\left\{ {{y_i}\left( t \right)} \right\}^T};A = \left[ {{a_{ij}}\left( t \right)} \right];F = {\left\{ {{f_i}\left( t \right)} \right\}^T};i = 1,2,\ldots,n</math>.
Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):
<math>\Omega (t) = [{\omega _{ij}}(t)] </math>.
<math> Y = \Omega C + {Y_F}</math>, <math> {Y_F} = \Omega \int {{\Omega ^{ - 1}}F} </math>
Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы <math>A</math> представим в виде операторного ряда:
<math>\Omega = [{\omega _{ij}}] = E + \int A \,\; + \int A \int A \,\, + \int A \,\int A \,\int A \, + \ldots </math>,
где <math>E</math> — единичная матрица. При этом матрица <math>A</math> должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.
Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:
<math>\int {\left( {\ldots} \right)} = \int_Шаблон:T 0^t {\left( {\ldots} \right)} \,dt \,;\begin{array}{*{20}{c}}
{} & {\int\limits_{}^2 {\left( {\ldots} \right) = \,\int {\int {\left( {\ldots} \right)} } = \int\limits_Шаблон:T 0^t {\left( {\int\limits_Шаблон:T o^Шаблон:T \xi {\left( {\ldots} \right) d{t_\xi }} } \right)} } } \\
\end{array}\,dt</math>.
Из этих выражений следует, что
<math>\Omega \left( Шаблон:T 0 \right) = [{\omega _{ij}}\left( Шаблон:T 0 \right)] = E</math>.
<math>{\omega _{ii}}\left( Шаблон:T 0 \right) = \,1;\quad \;{\omega _{ij}}\left( Шаблон:T 0 \right) = 0\,,\quad i \ne j.\quad C = {Y_0} = {\left\{ {{y_{0,i}}} \right\}^T};\quad {y_{0,i}} = {y_i}\left( Шаблон:T 0 \right)</math>.
Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:
<math>Y = \Omega \cdot ({Y_0} + {U_P}) \,;\quad {U_P} = \int {{\Omega ^{ - 1}}F\,.}</math>.
Здесь <math>Y_0</math> — вектор начальных значений, которые заданы при <math>t=t_0</math>. <math>U_P</math> — вектор внешних воздействий, которые действуют при <math>t \ge t_0</math>. Не нарушая общности, можно считать, что <math>t_0 = 0</math>.
Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].
Область сходимости ряда Пеано
Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения <math>t</math> абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд
<math>M = 1 + \mu \left( t \right) + \frac{{n\mu {{\left( t \right)}^2}}}Шаблон:2! + \frac{{{n^2}\mu {{\left( t \right)}^3}}}Шаблон:3! + \ldots + \frac{{{n^{k - 1}}\mu {{\left( t \right)}^k}}}Шаблон:K! + \ldots</math>,
<math>\mu \left( t \right) = \mathop {\max }\limits_{i,j} \int\limits_0^t {\left| {{a_{ij}}\left( t \right)} \right|dt}</math>.
Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций <math>a_{ij}</math> в заданном интервале изменения <math>t</math>.
Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравнений
Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами
<math>{y^{(n)}} + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}} + {a_{n - 2}}{y^{(n - 2)}} + \ldots + {a_1}y' + {a_0}y = f(t)</math>
можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение
<math>{y_i} = {y^{(i - 1)}};\begin{array}{*{20}{c}} {} & {i = 1,2, \ldots,n} \\ \end{array}</math>.
Продифференцировав это равенство, получим: <math>{y'_i} = {y^{(i)}} = {y_{i + 1}}</math>
Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при <math>i-1,2, \dots ,n-1</math>. Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме <math>y^{(n)}</math>, в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:
<math>\begin{array}{l}
{y^{(n)}} = - {a_0}y - {a_1}y' - \ldots - {a_{n - 2}}{y^{(n - 2)}} - {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}} + f(x); \\
{{y'}_n} = - {a_0}{y_1} - {a_1}{y_2} - \ldots - {a_{n - 2}}{y_{n - 1}} - {a_{n - 1}}{y_n} + f(x) \\ \end{array}</math>
Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:
<math>Y' = AY + F</math>.
Матрица <math>A</math> и вектор <math>F</math> этой системы имеют вид:
<math>A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
. & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
{ - {a_0}} & { - {a_1}} & { - {a_2}} & { - {a_3}} & \cdots & { - {a_{n - 2}}} & { - {a_{n - 1}}} \\
\end{array}} \right]</math>; <math>F = {\left\{ {0, \ldots ,0,f(x)} \right\}^T}</math>.
В векторе <math>Y</math> каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в <math>\Omega</math>, начиная со второй, является производной от предыдущей:
<math>{\omega _{ij}} = {\omega '_{i - 1,j}}</math>
Если обозначить <math>{\omega _{1j}} = {\psi _j}</math>, то матрицант можно представить в виде:
<math> \Omega = W = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\psi _1},{\psi _2}, \ldots ,{\psi _n}} \\
{{{\psi '}_1},{{\psi '}_2}, \ldots ,{{\psi '}_n}} \\
\cdots \\
{\psi _1^{(n - 1)},\psi _2^{(n - 1)}, \ldots ,\psi _n^{(n - 1)}} \\
\end{array}} \right] </math>
Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.
Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядка
Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:
<math>y + {a_1}\left( t \right) \,y' + {a_0}\left( t \right)\,y = p\left( t \right)</math>.
Это уравнение сводится к системе нормального вида:
<math>Y = {\left\{ {\,y,\,\,y'} \right\}^T}</math>; <math>A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\;0} & {\;1} \\
{ - {a_0}} & { - {a_1}} \\
\end{array}} \right]</math>; <math>F = {\left\{ {\,0\,,\,p\left( t \right)} \right\}^T}</math>.
Если <math>a_1=0</math>, то элементы матрицанта можно представить в виде:
<math> \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\omega _{11}} = 1 - \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 + \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 - \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 + ...} \\
{{\omega _{12}} = x - \int\limits_{}^2 {{a_0}x} + \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0}x} - \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 x + ...} \\
{{\omega _{21}} = - \int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 + \int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 - \int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 + \int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0} - } ...} \\
{{\omega _{22}} = 1 - \int\limits_{}^{} {{a_0}x} + \int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0}x} - \int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0}x} + ...} \\
\end{array}} \right. </math>
Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний
<math>y + {\omega ^2}\,y = 0</math>, <math>{a_0} = - {\omega ^2};\quad {a_1} = 0</math>.
Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:
<math>{\omega _{11}} = 1 - \frac{{{\omega ^2}\,{t^2}}}{4} + \frac{{{\omega ^4}\,{t^4}}}Шаблон:24 - \,\ldots = \cos \omega \,t\,</math>;
<math>{\omega _{12}} = t\;. - \frac{{{\omega ^2}{t^3}}}{6} + \frac{{{\omega ^4} {t^5}}}Шаблон:120 - \,\ldots = {\omega ^{ - 1}}\,\sin \,\omega \,t</math>.
Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:
<math>\Omega = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \,\omega t} & {{\omega ^{ - 1}}\,\sin \,\omega t} \\
{ - \omega \,\sin \,\omega t} & {\cos \,\omega t} \\
\end{array}} \right]\,</math>.
Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:
<math>y + \,\lambda \,{\bar a_0}y = 0;\quad {a_0} = - \lambda \,{\bar a_0}</math>.
В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа <math>\lambda</math>. Например:
<math>{\omega _{12}} = x - \lambda \int\limits_{}^2 {{a_0}x} + {\lambda ^2}\int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0}x} - {\lambda ^3}\int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0}x + \ldots} </math>
<math>{\omega _{21}} = - \lambda \int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 + {\lambda ^2}\int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 - {\lambda ^3}\int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0} + {\lambda ^4}\int\limits_{}^{} Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 \int\limits_{}^2 {{a_0}\int\limits_{}^2 Шаблон:A 0 - \ldots}\ldots}</math>
При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].
Реализация алгоритма в численном виде
В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.
Решение прикладных задач
Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.
Примечания
- ↑ Peano G. Integration par series des equations differentielles lineaires, Math. Ann. 32 (1888), 450—456.
- ↑ Математическая энциклопедия. Том 3 и 4. Гл. редактор И. М. Виноградов. — М.: Изд-во Советская Энциклопедия. 1982.
- ↑ Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.
- ↑ Улитин В. В. Ряд Пеано и матрицанты при решении прикладных задач: монография. — СПб.: Изд-во «Парк Ком», 2012. −164 с.
