Русская Википедия:Ряд обратных квадратов

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

<math>\frac{\pi^2}{6}\approx 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots</math>

(см. Шаблон:OEIS).

Эта сумма встречается во многих других задачах теории чиселШаблон:Переход.

Решение данной проблемы (и смежных с ней) не только принесло молодому Эйлеру мировую славу^[1], но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа Шаблон:Переход. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число <math>\pi</math> вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению дзета-функции Римана^[2]. Начал этот путь сам Эйлер, рассмотрев обобщение ряда обратных квадратов — ряд для произвольной чётной степени Шаблон:Math, а также выведя фундаментальное тождество Эйлера Шаблон:Переход:

Произведение в правой части берётся по всем простым числам.

Файл:RR5110-0079R.gif

Формула суммы ряда обратных квадратов на серебряной монете Банка России 2007 года, посвящённой 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера

История

Файл:Pietro Mengoli.gif

Пьетро Менголи

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в диссертации итальянского математика Пьетро Менголи (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644 год, опубликована в 1650), но тогда задача не вызвала общего интереса. Менголи определил, что ряд сходится, и нашёл сумму первых 10 членов^[3]:

<math>\frac{1968329}{1270080}\approx 1{,}54977.</math>

Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, Христиан Гольдбах, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они также вычислили несколько значащих цифр суммы ряда. Гольдбах показал, что сумма заключена в интервале (41/25; 5/3), Стирлинг в трактате «Methodus Differentialis» (1730) сумел вычислить довольно точное значение суммы: 1,644934066, однако никто не мог точно определить, с чем это значение может быть связано^[3]^[4]^[5].

Файл:LeonhardEuler.jpg

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»Шаблон:Sfn^[6]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, 1735 год)^[7] для журнала «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[8]: Шаблон:Начало цитаты Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1. Шаблон:Конец цитаты Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости использованного Эйлером разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)Шаблон:Sfn.

Как отмечает Джон Дербишир, второе (после ряда Лейбница) появление числа <math>\pi</math> в неожиданном, совершенно не геометрическом контексте, произвело на математиков XVIII века сильное впечатлениеШаблон:Sfn.

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением <math>\frac{\pi^2}{6},</math> используя уже известное в тот период приближённое значение числа <math>\pi</math>, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[9].

Сходимость ряда

Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд^[10]:

Этот ряд мажорирует ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде телескопической суммы:

<math>1 + \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \dots</math>

Частичная сумма <math>S_n</math> этого ряда равна <math>2-{1\over n}, </math> поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2)^[10].

Для оценки скорости сходимости частичных сумм можно использовать формулу

<math>\frac{1}{m+1} = \int\limits_{m+1}^\infty{\frac{1}{t^2}dt} < \sum_{n=m+1}^\mathcal{\infty} {\frac{1}{n^2}} < \int\limits_{m}^\infty{\frac{1}{t^2}dt} = \frac{1}{m}.</math>

Сумма в середине формулы представляет собой разность ряда и его <math>m</math>-й частичной суммы, то есть абсолютную погрешность частичной суммы. Из формулы видно, что сходимость ряда довольно медленная — тысяча первых членов ряда (<math>m=1000</math>) дают погрешность порядка <math>10^{-3}</math>, то есть в третьем десятичном знаке. Чтобы получить 6 верных знаков, понадобится сложить миллион членов рядаШаблон:Sfn.

В 1988 году Рой Норт (Roy D. North) из Колорадо-Спрингс подсчитал на компьютере сумму миллиона членов ряда обратных квадратов и обнаружил странную закономерность — шестой знак после запятой, как и следовало ожидать, ошибочен, но следующие за ним 6 цифр верны. Далее один знак ошибочен, а после него пять цифр снова верны:

Полная сумма ряда (<math>\pi^2/6</math>)	Шаблон:Red4Шаблон:Oncolor2Шаблон:Oncolor472415166646025189218949901…
Частичная сумма миллиона членов	Шаблон:Red3Шаблон:Oncolor7Шаблон:Oncolor305748499979391855885616544…
Погрешность	0,000000999999500000166666666666633333333333357…

Данная погрешность может быть представлена в виде суммы

в которой коэффициентами при степенях 10 выступают числа Бернулли^[11]. Доказательство этого факта можно найти в статье Борвейна, Борвейна и Дилчера 1989 года^[12].

Первый метод Эйлера для нахождения суммы ряда

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведениеШаблон:Sfn:

<math>\sin x = x \cdot\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\cdot\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\cdot\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdot\left(1 - \frac{x^2}{16\pi^2}\right)\cdot \dots</math>

Приравняв оба выражения и сократив на <math>x,</math> можно получить: Шаблон:EF

Поскольку это тождество выполняется при всех <math>x,</math> коэффициенты при <math>x^2</math> в обеих его частях должны быть равны:

Умножив обе части равенства на <math>-\pi^2,</math> можно окончательно получитьШаблон:Sfn:

Изложенный метод основан на разложении синуса в бесконечное произведение, однако Эйлер не дал этому разложению должного обоснования, ограничившись ссылкой на то, что и левая, и правая части, рассматриваемые как многочлены, имеют одни и те же корни: <math>0, \pm\pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \pm 4\pi \dots</math> Иоганн и Даниил Бернулли указали на некорректность такого вывода, поскольку он применим только к многочленам конечной степени, а не к бесконечным рядам. В связи с этим Эйлер опубликовал ещё несколько способов суммирования, обоснованных более строго и приводящих к тому же результату^[9]. Тем не менее указанное разложение оказалось верным и было впоследствии доказаноШаблон:Sfn.

Второй метод Эйлера

В 1741 году Эйлер учёл указанную выше критику своего первоначального метода и опубликовал другой метод суммирования, основанный на интегрировании рядовШаблон:Sfn. Для этого рассматривается интеграл вида

<math>E = \int\limits_0^1{\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} = \int\limits_0^1{\arcsin x\ d\arcsin x } = \frac{\pi^2}{8}.</math>

Для вычисления интеграла можно воспользоваться разложением арксинуса в ряд на промежутке <math>[0,1]</math>:

<math>\arcsin x = x + \sum^\infty_{n=1} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}.</math>

Этот ряд сходится равномерно, и его можно интегрировать почленно:

<math>E=\int\limits_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx + \sum^\infty_{n=1} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)} \int\limits_0^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}\ dx.</math>

Первый интеграл равен <math>1</math>, а второй после подстановки <math>x=\sin t</math> оказывается равен <math display="inline">\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!},</math> отсюда:

<math>E = 1+\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{(2n+1)^2} = \sum^\infty_{n=1}\frac{1}{(2n-1)^2}.</math>

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Требуемая же сумма <math>S</math> ряда обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна <math>E,</math> а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

То есть <math>{3 \over 4} S = \frac{\pi^2}{8},</math> откуда <math>S=\frac{\pi^2}{6}.</math>

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

Один из простейших методов получения данной суммы — использование аппарата разложения в ряд Фурье функции <math>f(x)=x^2</math>. Для чётной функции это разложение имеет вид^[13]

<math>f(x)=a_0 + \sum^{\infin}_{n=1} a_n \cos nx.</math>

Коэффициенты <math>a_n</math> вычисляются по стандартным формулам:

<math>a_0= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = {\pi^2 \over 3};\quad a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx = (-1)^n \frac{4}{n^2}.</math>

В итоге разложение приобретает вид^[13]

<math>x^2 = {\pi^2 \over 3} + \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^n \frac{4 \cos(nx)}{n^2}.</math>

Подстановка в эту формулу значения <math>x=\pi</math> даёт результат

<math>\pi^2 = {\pi^2 \over 3} + \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^n \frac{4 (-1)^n}{n^2}, </math>

или

<math>{2 \over 3}\pi^2 = 4\sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{n^2}. </math>

Окончательный результат получается^[13] при делении обеих сторон на 4.

Если же вместо <math>x=\pi</math> подставить <math>x=0,</math> получится знакочередующаяся сумма:

Другой путь к решению задачи через Фурье-анализ — использовать равенство Парсеваля для функции <math>f(x)=x.</math>

Метод разложения гиперболического котангенса

Данный способ позволяет найти суммы для всех рядов обратных чётных степеней:

<math>S_{2n} = \sum^\infty_{m=1} \frac{1}{m^{2n}}.</math>

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. ПерваяШаблон:Sfn справедлива при <math>|x| < 1</math>:

<math>\pi x\cdot \operatorname{cth}(\pi x) = 1 + 2\sum^\infty_{n=1} (-1)^{n-1}S_{2n} x^{2n}.</math>

Вторая формулаШаблон:Sfn связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли <math>B_n</math>:

<math>\pi x\cdot \operatorname{cth}(\pi x) = 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{(2\pi)^{2n} B_n} {(2n)!} x^{2n}</math>

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях <math>x</math> даёт формулу для связи сумм рядов с числами Бернулли:

В частности, исходный результат получается при рассмотрении <math>n=1</math> с учётом <math display="inline">B_1={1\over 6} .</math>

Другие подходы

В статье К. П. КохасяШаблон:Sfn приводится несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье ЧепменаШаблон:Sfn.

Интересное физико-геометрическое представление суммирования ряда обратных квадратов изложено в статье Йохана Вестлунда^[14] и в видеолекции на ютуб-канале 3Blue1Brown^[15].

Вариации и обобщения

Исходя из формулы (Шаблон:Eqref), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например^[2]:

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли <math>B_{n}</math> следующим образом^[16]:

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[17]; суммы рядов оказались также связаны с числом <math>\pi.</math>

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число^[2].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

<math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.</math>

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть <math>\zeta(2).</math>

Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1748 году он опубликовал монографию «Введение в анализ бесконечно малых», где доказал «тождество Эйлера»^[18]:

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}},</math>

здесь произведение берётся по всем простым числам <math>p.</math> Это равенство сыграло большую роль в развитии аналитической теории чисел, на него опирались исследования Чебышёва и Римана по распределению простых чисел в натуральном ряду. В 1859 году появилась глубокая работа Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел^[18].

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[19]:

<math>\operatorname{Li}_2(x) = -\int_0^x\frac{\ln(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t =\frac{x^1}{1^2} + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{3^2} + \dots</math>

Некоторые применения

Шаблон:Also Сумма ряда обратных квадратов, она же <math>\zeta(2),</math> появляется во многих задачах теории чисел.

Сумма делителей натурального числа <math>N</math> растёт в среднем^[20] как линейная функция <math>\zeta(2)\cdot N</math>.

Вероятность того, что два случайным образом выбранных натуральных числа в интервале от 1 до <math>N</math> окажутся взаимно простыми, с ростом <math>N</math> стремится к <math display="inline">1/\zeta(2).</math> Другими словами, средняя плотность взаимно простых чисел в числовом ряду^[21] равна <math display="inline">1/\zeta(2).</math>

Пусть <math>Q(x)</math> — количество свободных от квадратов натуральных чисел в промежутке от 1 до <math>x.</math> Для него имеет место приближённая формула^[22]^[23]^[24]

<math>Q(x) \approx \frac{x}{\zeta(2)} </math>

Шаблон:Iw

<math>\Phi(n) := \sum_{k=1}^n \varphi(k), \quad n\in \mathbf{N},</math>

где <math>\varphi(n)</math> — функция Эйлера, имеет следующую асимптотику^[25]:

<math>\Phi(n) \sim \frac{1}{2\zeta(2)}\cdot n^{2}+O\left( n\log n \right ).</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:ВС Шаблон:Последовательности и ряды Шаблон:Хорошая статья

↑ Шаблон:Книга
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок DER не указан текст
↑ ^3,0 ^3,1 Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web
↑ ^9,0 ^9,1 Шаблон:Книга
↑ ^10,0 ^10,1 Шаблон:Книга
↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок AC не указан текст
↑ Шаблон:Sfn0
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:YouTube
↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок IM337 не указан текст
↑ Шаблон:Книга
↑ ^18,0 ^18,1 Шаблон:Книга
↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья (см. также замечание к статье: Errata Шаблон:Wayback. Замечание касается «Corollary 3.3» на с. 413).
↑ Шаблон:Статья Шаблон:Free access
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Mathworld

[1] Шаблон:Книга

[DER-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок DER не указан текст

[SOFO-3] 3,0 ^3,1 Шаблон:Cite web

[4] Шаблон:Cite web

[5] Шаблон:Cite web

[6] Шаблон:Книга

[7] Шаблон:Cite web

[8] Шаблон:Cite web

[ВИЛ-9] 9,0 ^9,1 Шаблон:Книга

[VOR-10] 10,0 ^10,1 Шаблон:Книга

[AC-11] Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок AC не указан текст

[12] Шаблон:Sfn0

[FICH3-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 Шаблон:Книга

[14] Шаблон:Cite web

[15] Шаблон:YouTube

[IM337-16] Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок IM337 не указан текст

[17] Шаблон:Книга

[OTRAD-18] 18,0 ^18,1 Шаблон:Книга

[19] Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals

[Arnold-20] Шаблон:Книга

[21] Шаблон:Статья (см. также замечание к статье: Errata Шаблон:Wayback. Замечание касается «Corollary 3.3» на с. 413).

[22] Шаблон:Статья Шаблон:Free access

[23] Шаблон:Книга

[24] Шаблон:Статья

[25] Шаблон:Mathworld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.