Сапог Шварца (от Шаблон:Lang-de) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.
Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой.
Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.
Конструкция была предложена в 1890 году Германом Шварцем как контрпример к ошибочному определению площади поверхности в книге Жозефа Серре[1].
Независимо от Шварца, тот же пример был найден Джузеппе Пеано.
Его учитель Шаблон:Iw также обсуждал этот вопрос со Шварцем.
Дженокки проинформировал Шарля Эрмита, который использовал ошибочное определение Серре в своем курсе.
После этого Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал заметку Шварца во втором издании своих лекций.[2]
Конструкция
Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на <math>n</math> равных частей.
В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные <math>k</math>-угольники, причём соседние <math>k</math>-угольники повёрнуты относительно друг друга на угол <math>\pi/k</math> чтобы вершины вышележащего <math>k</math>-угольника находились над серединами сторон нижележащего <math>k</math>-угольника.
Затем вершины <math>k</math>-угольников соединяются так, что образуется поверхность из <math>2nk</math> треугольников; каждый её «слой» — антипризма.
Полученная многогранная поверхность называется сапогом Шварца.
Если <math>n, k\to\infty</math>, то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми,
то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.
