Русская Википедия:Сверхсоставное число

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Highly composite number Cuisenaire rods 6.png
Первые четыре сверхсоставных числа: 1, 2, 4, 6 и их разложения на делители

Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

История

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако Шаблон:Iw рассматривал их раньше, и, возможно, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.[1]

Примеры

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (Шаблон:OEIS).

номер Сверхсоставное разложение

на простые

число

делителей

разложение на

праймориалы

1 1 1
2 2 <math>2</math> 2 <math>2</math>
3 4 <math>2^2</math> 3 <math>2^2</math>
4 6 <math>2\cdot 3</math> 4 <math>6</math>
5 12 <math>2^2\cdot 3</math> 6 <math>2\cdot 6</math>
6 24 <math>2^3\cdot 3</math> 8 <math>2^2\cdot 6</math>
7 36 <math>2^2\cdot 3^2</math> 9 <math>6^2</math>
8 48 <math>2^4\cdot 3</math> 10 <math>2^3\cdot 6</math>
9 60 <math>2^2\cdot 3\cdot 5</math> 12 <math>2\cdot 30</math>
10 120 <math>2^3\cdot 3\cdot 5</math> 16 <math>2^2\cdot 30</math>
11 180 <math>2^2\cdot 3^2\cdot 5</math> 18 <math>6\cdot 30</math>
12 240 <math>2^4\cdot 3\cdot 5</math> 20 <math>2^3\cdot 30</math>
13 360 <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5</math> 24 <math>2\cdot 6\cdot 30</math>
14 720 <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5</math> 30 <math>2^2\cdot 6\cdot 30</math>
15 840 <math>2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math> 32 <math>2^2\cdot 210</math>
16 1260 <math>2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math> 36 <math>6\cdot 210</math>
17 1680 <math>2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math> 40 <math>2^3\cdot 210</math>
18 2520 <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math> 48 <math>2\cdot 6\cdot 210</math>
19 5040 <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math> 60 <math>2^2\cdot 6\cdot 210</math>
20 7560 <math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math> 64 <math>6^2\cdot 210</math>
21 10080 <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math> 72 <math>2^3\cdot 6\cdot 210</math>
22 15120 <math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math> 80 <math>2\cdot 6^2\cdot 210</math>
23 20160 <math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math> 84 <math>2^4\cdot 6\cdot 210</math>
24 25200 <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math> 90 <math>2^2\cdot 30\cdot 210</math>
25 27720 <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 96 <math>2\cdot 6\cdot 2310</math>
26 45360 <math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7</math> 100 <math>6^3\cdot 210</math>
27 50400 <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math> 108 <math>2^3\cdot 30\cdot 210</math>
28 55440 <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 120 <math>2^2\cdot 6\cdot 2310</math>
29 83160 <math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 128 <math>6^2\cdot 2310</math>
30 110880 <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 144 <math>2^3\cdot 6\cdot 2310</math>
31 166320 <math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 160 <math>2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
32 221760 <math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 168 <math>2^4\cdot 6\cdot 2310</math>
33 277200 <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math> 180 <math>2^2\cdot 30\cdot 2310</math>
34 332640 <math>2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 192 <math>2^2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
35 498960 <math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 200 <math>6^3\cdot 2310</math>
36 554400 <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math> 216 <math>2^3\cdot 30\cdot 2310</math>
37 665280 <math>2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math> 224 <math>2^3\cdot 6^2\cdot 2310</math>
38 720720 <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13</math> 240 <math>2^2\cdot 6\cdot 30030</math>

Разложение на простые

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число <math>n</math> имеет единственное разложение на простые:

<math>n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}\qquad (1)</math>

где <math>p_1 < p_2 < \cdots < p_k</math> простые, и степени <math>c_i</math> положительные целые числа. Число делителей <math>d(n)</math> числа <math>n</math> можно выразить следующим образом:

<math>d(n) = (c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).\qquad (2)</math>

Таким образом, для сверхсоставного числа <math>n</math> выполняется следующее

  • Числа <math>p_1, p_2, \dots, p_k</math> являются первыми <math>k</math> простыми числами.
  • Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть <math>c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k</math>.
    • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
  • За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень <math>c_k</math> равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность

Существуют постоянные a и b, обе больше чем 1, такие, что

<math>\ln(x)^a \le Q(x) \le \ln(x)^b,</math>

Где <math>Q(x)</math> обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных <math>x</math>.

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдёшем в 1944 году; вторую доказал Шаблон:Iw в 1988 году.

Известно также, что

<math>1{,}13862 < \liminf \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1{,}44</math>

и

<math>\limsup \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1{,}71.</math>

Свойства

  • Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
    • первый контрпример это Шаблон:Num, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Числа по характеристикам делимости

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Citation.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Сверхсоставное_число&oldid=10762425