Русская Википедия:Свободная абелева группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы.

Пример и контрпример

• Группа <math>G = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{2}</math>, прямая сумма двух копий бесконечной циклической группы <math>\mathbb{Z}^{2}</math> — свободная абелева группа ранга 2, так как имеет базис <math>B = \lbrace e_{1}, e_{2}\rbrace</math>, где <math>e_{1} = (1,0)</math> и <math>e_{2} = (0,1)</math>. Произвольный элемент <math>(n, m)</math> группы <math>G</math> единственным образом представляется в виде их линейной комбинации: <math>(n, m)= ne_{1} + me_{2}</math>. Более общо, свободной абелевой группой является любая решётка в <math>\mathbb R^n.</math>
• Никакая конечная абелева группа, кроме тривиальной, не является свободной (так как свободная абелева группа не имеет кручения).

Формальные суммы

Для любого множества <math>B</math> можно определить группу <math>\mathbb Z^{(B)},</math> элементы которой — функции из <math>B</math> во множество целых чисел <math>\mathbb Z,</math> а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: <math>(f+g)(x) = f(x)+g(x),</math> относительно этого сложения <math>\mathbb Z^{(B)}</math> образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством <math>B.</math> Действительно, любому элементу <math>x</math> множества <math>B</math> можно сопоставить функцию <math>e_x,</math> такую что <math>e_x(x) = 1,</math> и <math>e_x(y) = 0</math> для всех элементов <math>y</math> из множества <math>B,</math> таких, что <math>y\ne x.</math> Любая функция <math>f</math> из <math>\mathbb Z^{(B)}</math> представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций:

<math>f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x</math>

Группа <math>\mathbb Z^{(B)}</math> с базисом <math>\{e_x\}_{x\in B}</math> единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов <math>B.</math>

Свойства

Универсальное свойство

Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция <math>b</math> из множества B в абелеву группу F является вложением базиса в эту группу, если для любой функции <math>g</math> из B в произвольную абелеву группу A существует единственный гомоморфизм групп <math>G:F\to A,</math> такой что <math>g=G\circ b.</math> Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом B эквивалентны.

Подгруппы

Теорема: Пусть <math>F</math> — свободная абелева группа и пусть <math>G\subset F</math> — её подгруппа. Тогда <math>G</math> также является свободной абелевой группой.

Для доказательства этой теоремы необходима аксиома выбора. В книге Сержа Ленга «Алгебра» приводится доказательство, использующее лемму Цорна, тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский утверждали, что использование принципа вполне упорядочивания вместо леммы Цорна даёт более интуитивно понятное доказательство.

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат:

Теорема: Пусть <math>G</math> — подгруппа конечнопорождённой свободной группы <math>F</math>. Тогда <math>G</math> свободна, существует базис <math>(e_1, \ldots, e_n)</math> группы <math>F</math> и натуральные числа <math>d_1|d_2|\ldots|d_k</math> (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что <math>(d_1e_1,\ldots, d_ke_k)</math> образуют базис <math>G.</math> Более того, последовательность <math>d_1,d_2,\ldots,d_k</math> зависит только от <math>F</math> и <math>G</math>, но не от выбора базиса.

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы x и ненулевого числа n, таких что nx = 0. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел <math>\mathbb Q</math> — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу.

Прямые суммы и произведения

Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий <math>\mathbb Z</math> (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых.

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера <math>\mathbb Z^{\mathbb N},</math> прямое произведение счётного числа копий <math>\mathbb Z,</math> не является свободной абелевой. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой.