Русская Википедия:Свободная частица
Свободная частица — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.
Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.
Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.
Классическая механика
В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами
- <math> E = T = \frac{mv^2}{2} </math>, где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.
- <math> E = T = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 </math>, где с — скорость света, в релятивистском случае.
Нерелятивистская квантовая механика
Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера
- <math> i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi </math>
Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид
- <math> \psi_\mathbf{k} = A_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - itE/\hbar} </math>,
где
- <math> E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} </math>,
<math> A_\mathbf{k} </math> любое комплексное число.
Волновой вектор <math> \mathbf{k}</math> является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.
Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется <math> \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} </math>. В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется E. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.
Свободная частица в криволинейных координатах
Гамильтониан свободной частицы
- <math>H =- \frac{\hbar^2}{2m} \Delta</math>
пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид[1]
- <math>\Delta = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left(\sqrt{g} g^{ik} \frac{\partial}{\partial q^k} \right)</math>
Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:Шаблон:Sfn
- <math>H =- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left(\sqrt{g} g^{ik} \frac{\partial}{\partial q^k} \right)</math>
Классическая функция Гамильтона имеет вид
- <math>H_c (\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \frac{1}{2 m} g^{i k}(\mathbf{q}) p_{i} p_{k}</math>
В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локальноШаблон:Sfn
- <math>H (\mathbf{P}, \mathbf{Q}) = \frac{1}{2 m} \left( g^{i k}(\mathbf{Q}) P_{i} P_{k} + i \hbar g^{is}(\mathbf{Q}) \Gamma_{is}^k(\mathbf{Q})P_k\right)</math>
Релятивистская квантовая частица
Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц. Для электронов и вместе с тем их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса p энергия частиц равняется
- <math> E = \pm c \sqrt{m^2c^2 + p^2} </math>,
где знак "+" соответствует электрону, а знак "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.
Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частичка описывается уравнением Клейна — Гордона.
Примечание
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Модели квантовой механики
- ↑ Оператор Лапласа на римановом многообразии называют оператором Лапласа — Бельтрами.
