Русская Википедия:Свойство Лузина

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Свойство Лузина или свойство N — одно из слабых свойств регулярности для функций, применяемое в вещественном анализе.

Названо в честь Николая Лузина.

Формулировка

Функция <math>f\colon \mathbb{I}\to \mathbb{R},</math> заданная на вещественном интервале <math>\mathbb{I}\subset \mathbb{R},</math> обладает свойством Лузина, если для произвольного подмножества нулевой меры Лебега его образ также имеет нулевую меру Лебега. Иначе говоря, для любого подможества <math>N\subset\mathbb{I}</math> выполняется

<math>\lambda(N)=0\quad\Rightarrow\quad \lambda(f(N))=0,</math>

где <math>\lambda</math> обозначает меру Лебега.

Примеры

• Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.

• Канторова лестница не обладает свойством Лузина: мера Лебега Канторова множества равна нулю, однако его образ является всем интервалом [0,1].

Свойства

• Если функция f на отрезке [a,b] является непрерывной, имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина, то она является абсолютно непрерывной.

Внешние ссылки

• Springer Online