Русская Википедия:Свойство удвоения

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Свойство удвоения — условие, накладываемое на меры, определённые на метрических пространствах, а также на сами метрические пространства.

Определения

Меры

Напомним, что в произвольном метрическом пространстве <math>B(x,r)</math> обозначает шар с центром <math>x</math> и радиусом <math>r</math>.

Ненулевая мера <math>\mu</math> на метрическом пространстве удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная <math>C</math> такая, что

<math> 0<\mu[B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot\mu[B(x,r)]<\infty</math>

для всех <math>x</math> и <math>r>0</math>.

Метрические пространства

Метрическое пространство <math>X</math> удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная <math>M</math>, такая, что любой шар радиуса <math>r</math> в <math>X</math> можно покрыть <math>M</math> шарами радиуса <math>r/2</math>.

Замечания

Иногда рассматривается более слабый вариант свойства удвоение при котором требуется, что радиус <math>r</math> не превышает некоторой положительной константы <math>r_0</math>.

Свойства

• Любое метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей свойству удвоения, само удовлетворяет свойству удвоения.
  • И наоборот, на любом полном метрическом пространстве со свойством удвоения существует мера со свойством удвоения.

• (Теорема Ассуада) Пусть метрическое пространство <math>(X,d)</math> удовлетворяет свойству удвоения, тогда для любого <math>0<\alpha<1</math>, пространство <math>(X,d^\alpha)</math> допускает билипшицево вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности.

• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если <math>X</math> — метрическое пространство со свойством удвоения и <math>A\subset X</math> и <math>V</math> — банахово пространство, то любое <math>L</math>-Липшицево отображение <math>A\to V</math> продолжается до <math>C\cdot L</math>-Липшицева отображения <math>X\to V</math>, где константа <math>C</math> зависит только от параметра в свойстве удвоения.

• Лемма Витали о покрытиях применима на произвольных метрических пространствах для мер <math>\mu</math> обладающих свойством удвоения.

• Если <math>X</math> — пространство со свойством удвоения, то существует функция <math>M:(0,1)\to \mathbb{N}</math>, такая, что любой шар радиуса <math>r</math> в <math>X</math> можно покрыть <math>M(\varepsilon)</math> шарами радиуса <math>\varepsilon\cdot r</math>.
  • Более того, можно предположить, что

    <math>M(\varepsilon)\leqslant \frac{c}{\varepsilon^d}</math>

для некоторых констант <math>c</math> и <math>d</math>. При этом точная нижняя грань <math>d</math> называется размерностью Ассуада пространства <math>X</math>.

Примеры

• Мера Лебега в евклидовом пространстве удовлетворяет свойству удвоения. Постоянная равна <math>\tfrac1{2^m}</math>, где <math>m</math> обозначает размерность.
• Eвклидова плоскость удовлетворяет свойство удвоения с константой <math>M=7</math>.
• Размерность евклидова пространства совпадает с его размерностью Ассуада.

Литература

• Шаблон:Книга