Русская Википедия:Связность Гаусса — Манина
С расслоением, слои которого являются гладкими многообразиями (или гладкими алгебраическими многообразиями), можно связать некоторое расслоение с плоской связностью, называемой свя́зностью Га́усса — Ма́нина.
Определение
Пусть <math>Y \to X</math> — расслоение, слои которого <math>Y_x</math> — гладкие многообразия. Рассмотрим векторное расслоение <math>E \to X</math> со слоями <math>E_x = H^k_{\mathrm{dR}}(Y_x)</math>. Иными словами, повесим вместо каждого слоя его <math>k</math>-тые когомологии де Рама. По Шаблон:Не переведено 3, гладкие расслоения локально тривиальны, так что в достаточно малой окрестности по базе можно отождествить слои друг с другом, и провозгласить гладкими сечениями <math>E</math> сечения, которые соответствуют гладким вариациям класса когомологий при тривиализации. Строго говоря, мы определили не расслоение, а только пучок, но это действительно будет пучок сечений расслоения.
Для простоты предположим на минутку, что слои компактны. Когомологии де Рама компактного многообразия изоморфны сингулярным когомологиям <math>H^k(Y_x,\Z) \otimes \R</math>, таким образом, в каждом слое <math>E_x</math> имеется решётка целочисленных когомологий, гладко зависящая от точки <math>x</math>. Связность Гаусса — Манина определяется как связность, относительно которой локальные сечения, в каждой точке принимающие значения в этой целочисленной решётке, являются плоскими.
Описание связности Гаусса — Манина через плоские сечения даёт удобный способ её визуализировать, однако для её существования наличие целочисленной структуры на когомологиях совершенно не необходимо. Она допускает следующее описание. Выберем в расслоении <math>Y \to X</math> Шаблон:Не переведено 3 <math>H \subset TY</math>. Если <math>s \in \Gamma(E)</math> — какое-то сечение, оно может быть реализовано набором замкнутых форм <math>\sigma_x \in \Omega^k(Y_x)</math>. Выбранная связность Эресманна позволяет продолжить его до единой формы <math>\sigma \in \Omega^k(Y)</math>, доопределяя её на направлениях, трансверсальных слоям, условием <math>\iota_h\sigma = 0</math> для всех <math>h \in H</math>. Заметим, что эта форма не обязана быть замкнутой. Определим связность Гаусса — Манина <math>\nabla</math> таким образом: <math>(\nabla_vs)_x = \left[\left(\mathrm{Lie}_{\widetilde{v}}\sigma\right)|_{Y_x}\right] \in H^k_{\mathrm{dR}}(Y_x)</math>. Здесь <math>v</math> — произвольное векторное поле на базе, а <math>\widetilde{v}</math> — его поднятие при помощи связности Эресманна, то есть сечение <math>H</math>, при проекции на базу переходящее в <math>v</math>. Проверка того, что это хорошо определённая связность (то есть что такая производная Ли будет замкнута в ограничении на слои, и эта операция удовлетворяет тождеству Лейбница), не составляет труда; чуть сложнее показать, что она не зависит от выбора связности Эресманна.
Это определение связности Гаусса — Манина изящно формулируется в терминах Шаблон:Не переведено 3. Это позволяет перенести определение связности Гаусса — Манина в некоммутативную геометрию: Шаблон:Не переведено 3[1], и Каледин[2] построили связность Гаусса-Манина на периодических циклических гомологиях.
Применение
Связность Гаусса — Манина в первых когомологиях семейства эллиптических кривых с уравнениями <math>x^3 + y^3 + z^3 = \lambda xyz</math> над проколотой сферой Римана, параметризованной комплексным параметром <math>\lambda</math>, определяет дифференциальное уравнение, известное как Шаблон:Не переведено 3. Гаусс рассматривал аналогичное уравнение для семейства кривых <math>y^2 = x(x-1)(x-\lambda)</math>; общее описание таких уравнений в случае, когда база является алгебраической кривой, было дано Маниным[3], а в общем случае Гротендиком[4]. Ему принадлежит название «связность Гаусса — Манина», а также абстрактное алгебраико-геометрическое описание этой связности как одной из стрелок в Шаблон:Не переведено 3 для подходящего пучка.
Связность Гаусса — Манина используется также в симплектической геометрии. Именно, пусть <math>Y \to X</math> — расслоение, слои которого лагранжевы торы. Касательное пространство к базе такого расслоения можно отождествить с некоторым подпространством в пространстве сечений нормального расслоения к слою, висящему над этой точкой. Но у лагранжева подмногообразия нормальное расслоение изоморфно кокасательному, так что эти сечения определяют дифференциальные 1-формы на слое. Оказывается, эти формы замкнуты, и их классы когомологий суть всевозможные классы первых когомологий слоя. Таким образом, касательное расслоение к базе лагранжева расслоения изоморфно расслоению первых когомологий слоёв, и, следовательно, имеет каноническую плоскую связность, связность Гаусса — Манина. В механике это утверждение имеет следствие, известное как теорема Лиувилля — Арнольда: у гамильтоновой системы, имеющей столько же независимых находящихся в инволюции интегралов, сколько степеней свободы, уравнения движения могут быть решены в квадратурах. Голоморфная версия теоремы Лиувилля — Арнольда определяет плоскую связность с монодромией <math>\mathrm{SL}(2n,\Z) \ltimes \R^{2n}</math> вне некоторого дивизора на <math>\Complex\mathrm{P}^n</math>, базе голоморфного лагранжева расслоения на Шаблон:Не переведено 3. Наиболее наглядный случай, когда тотальное пространство — K3-поверхность, слои — эллиптические кривые, а база — сфера Римана с 24 проколами, изучена Концевичем и Шаблон:Не переведено 3[5].
Примечания
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Wayback [math/0702068v2] Cyclic homology with coefficients
- ↑ Алгебраические кривые над полями с дифференцированием
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Wayback [math/0406564] Affine structures and non-archimedean analytic spaces
