Русская Википедия:Связность (некоммутативная геометрия)
Геометрия квантовых систем (например, некоммутативная геометрия и супергеометрия) может быть сформулирована в алгебраических терминах модулей и алгебр. Связность на модулях обобщает линейную связность на векторных расслоениях <math>E \to X</math>, записанную как связность на <math>C^\infty(X)</math> - модуле сечений <math>E \to X</math>.[1]
Коммутативная геометрия
Пусть <math>A</math> — коммутативное кольцо и <math>P</math> — <math>A</math>-модуль. Существуют несколько эквивалентных определений связности на <math>P</math>.[2] Пусть <math>D(A)</math> — модуль дифференцирований кольца <math>A</math>. Связность на <math>A</math>-модуле <math>P</math> определяется как морфизм <math>A</math>-модулей
- <math> \nabla:D(A)\ni u\to \nabla_u\in \mathrm{Diff}_1(P,P),</math>
такой что дифференциальные операторы первого порядка <math>\nabla_u</math> на <math>P</math> удовлетворяют правилу Лейбница
- <math>\nabla_u(ap)=u(a)p+a\nabla_u(p), \quad a\in A, \quad p\in P.</math>
Связность на модуле над коммутативным кольцом всегда существует. Кривизна связности <math>\nabla</math> определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка
- <math>R(u,u')=[\nabla_u,\nabla_{u'}]-\nabla_{[u,u']}. </math>
На модуле <math>P</math> для всех <math>u,u'\in D(A)</math>.
Если <math>E\to X</math> — векторное расслоение, существует взаимно однозначное соответствие между линейными связностями <math>\Gamma</math> на <math>E\to X</math> и связностями <math>\nabla</math> на <math>C^\infty(X)</math>-модуле сечений of <math>E \to X</math>. При этом, <math>\nabla</math> соответствует ковариантному дифференциалу связности на <math>E\to X.</math>
Супергеометрия
Понятие связности на коммутативном кольце непосредственным образом переносится на модули над <math>\mathbb Z_2</math>-градуированными алгебрами.[3] Это — случай суперсвязностей в супергеометрии на градуированных многообразиях и супервекторных расслоениях. Суперсвязности всегда существуют.
Некоммутативная геометрия
Если <math>A</math> — некоммутативное кольцо, связности на левых и правых <math>A</math>-модулях определяются так же, как и на модулях над коммутативным кольцом.[4] Однако такие связности не обязательно существуют.
В отличие от связностей на левых и правых модулях, проблема возникает с определением связности на <math>R-S</math>-бимодулях над некоммутативными кольцами <math>R</math> и <math>S</math>. Существуют различные определения таких связностей.[5] Приведем одно из них. Связность на <math>R-S</math>-бимодуле <math>P</math> определяется как морфизм бимодулей
- <math> \nabla:D(A)\ni u\to \nabla_u\in \mathrm{Diff}_1(P,P),</math>
который удовлетворяет правилу Лейбница
- <math>\nabla_u(apb)=u(a)pb+a\nabla_u(p)b +apu(b), \quad a\in R,
\quad b\in S, \quad p\in P.</math>
См. также
- Связность (дифференциальная геометрия)
- Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
- Супергеометрия
Примечания
Литература
- Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
- Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
- Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
- Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
- Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.
- Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
- Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.
Ссылки
- Sardanashvily, G., Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515Шаблон:Недоступная ссылка
