Русская Википедия:Сегмент (геометрия)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Arclength.svg

Четыре сегмента плоской кривой.

Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой.

Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга.

Характеристики

Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы.

Сегмент круга

Файл:Circularsegment.svg

Сегмент круга закрашен зелёным цветом.

Шаблон:Main Длина хорды <math>c</math> сегмента круга радиуса <math>R</math> и высоты <math>h</math> вычисляется по теореме Пифагора:

<math>c = 2\sqrt{R^2 - (R - h)^2} = 2\sqrt{2Rh - h^2}</math>

Площадь <math>S</math> сегмента круга радиуса <math>R,</math> опирающегося на центральный угол <math>\textstyle\theta</math> (в радианах)Шаблон:Sfn:

<math>S = \frac {1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)</math>

Сегмент параболы

Файл:Archimedes Parabola.svg

Площадь сегмента параболы

Архимед в III веке Шаблон:Донэ доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Сегмент эллипса

Файл:Segment of ellipse.png

Сегмент эллипса (выделен зелёным цветом)

Шаблон:Main Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой <math>x,</math> можно определить по формуле:

<math>S = \frac{\pi a b}{2} - \frac{b}{a} \left(x\,\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} \right).</math>

Другие виды плоских сегментов

Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели.

Площадь

Файл:Curve segment-1.png

Вычисление площади сегмента кривой

Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой <math>y=f(x)</math>, пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна:

<math>S = \int\limits_a^b f(x)dx </math>

Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл:

<math>S = \int\limits_0^\pi {\sin x dx} = -\cos(\pi) +\cos(0) = 2</math>

Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса <math>R,</math> равна <math>3\pi R^2,</math> то есть втрое больше площади порождающего круга.

Длина дуги

Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента, вычисляется по формуле

<math> L = \int\limits_a^b \sqrt{1 + \left ( f' \left ( x \right ) \right ) ^2} \, dx </math>

Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование.

Литература

• Шаблон:Книга