Русская Википедия:Седловая точка
Шаблон:Не путать Шаблон:Значения
Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. Является точкой равновесия в чистых стратегиях. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.
Седловая точка в математическом анализе
Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции <math>z=x^2-y^2</math> в стационарной точке <math>(0, 0)</math> получим матрицу:
- <math>\begin{bmatrix}
2 & 0\\ 0 & -2 \\ \end{bmatrix} </math> которая является неопределенной. Поэтому, точка <math>(0, 0)</math> данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, <math>(0, 0)</math> является седловой точкой функции <math>z=x^4-y^4</math>, но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной.
В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке.
В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).
См. также
- Критическая точка (математика)
- Метод перевала
- Экстремум
- Особая точка (дифференциальные уравнения)
- Матрица (математика)
Литература
- Шаблон:Citation
- Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344
- Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- Шаблон:Citation
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Дифференциальное исчисление многих переменных
- Дифференциальная геометрия поверхностей
- Теория устойчивости
- Аналитическая геометрия
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
