Русская Википедия:Секционная кривизна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.

Определение

Секционная кривизна — это функция <math>K(\sigma)</math>, которая зависит от секционного направления <math>\sigma</math> в точке <math>p</math> (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в <math>p</math>). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке <math>p</math>.

Свойства

• Если <math>v,\;u</math> — два линейно независимых вектора в <math>\sigma</math>, то

  <math>K(\sigma)= K(u,\;v)/|u\wedge v|^2,</math> где <math>K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u \rangle,</math>

а <math> R(u,\;v)</math> обозначает преобразование кривизны.

• • Эту формулу можно переписать следующим образом

    <math>K(\sigma)={\langle R(u,v)v,u\rangle\over \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle-\langle u,v\rangle^2}.</math>

• Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

  <math>6\cdot\langle R(u,\;v)w,\;z \rangle =</math>

  <math>[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-</math>

  <math>[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].</math>

  • более простой форме, используя частные производные:

    <math>\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=\frac 16\cdot \left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.</math>

• Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.