Русская Википедия:Семейство (математика)
Шаблон:Другое значение Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию <math>x</math> вместе с её областью определения <math>I</math> и областью значений <math>X</math>. Множество <math>I</math> в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а <math>X</math> — индексированным множествами семейства.
Определение
Пусть <math>I</math> и <math>X</math> — некоторые множества, а <math>x</math> — сюръективная функция
- <math>\begin{align}
x\colon I &\to X \\ i &\mapsto x_i = x(i).
\end{align}</math>
Такое описание задаёт семейство элементов <math>X</math> индексированное множеством <math>I</math>, что также обозначается как <math>\{x_i\}_{i \in I}</math> или просто <math>\{x_i\}</math>. Индексное множество при этом не обязано быть счётным.
Примеры
Индексная нотация
При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:
- Векторы <math>v_1, \dots, v_n</math> линейно независимы.
Неявно вводится семейство векторов <math display="inline">\{v_i\}_{i \in \{1, \dots, n\}}</math>. При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об <math>i</math>-м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.
Матрицы
В следующем высказывании:
- Матрица <math>A</math> невырождена если и только если её строки линейно независимы.
Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:
- <math> A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} . </math>
Множество её строк состоит из единственного элемента <math>(1, 1)</math> и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.
Прочие примеры
Пусть через <math>\bf n</math> обозначается конечное множество <math>\{1, 2, \dots, n\}</math>, где <math>n</math> — положительное целое число.
- Упорядоченная пара — это семейство, индексированное двухэлементным множеством <math>{\bf 2}=\{1, 2\}</math>.
- Кортеж — это семейство, индексированное множеством <math>\bf n</math>.
- Последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами.
- Матрица — это семейство, индексированно декартовым произведением <math>{\bf n} \times {\bf m}</math>.
- Направленность — это семейство, индексированное направленным множеством.
Операции над семействами
Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как
- <math> \sum_{i\in I}a_i. </math>
Если <math>\{A_i\}_{i \in I}</math> — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как
- <math>\bigcup_{i\in I}A_i. </math>
Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.
В теории категорий
Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории <math>C</math>, индексированное некоторой другой категорией <math>J</math>, который также индексирует морфизмы категории.
См. также
Литература
- Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).
