Русская Википедия:Семнадцатая проблема Гильберта

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Шаблон:Рамка Пусть дана рациональная функция от <math>n</math> переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны? Шаблон:Конец рамки

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.

Вариации и обобщения

  • Существуют многочлены, которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом.[1] Более явные примеры таких многочленов были даны Шаблон:Нп1 в 1967 году.
    • Например, многочлены
      <math>f(x, y) = x^2 y^2 (x^2 + y^2 - 3) + 1,</math>
      <math>g(x, y, z) = z^6 + x^4 y^2 + x^2 y^4 - 3 x^2 y^2 z^2</math>
    не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,
    <math>f(x, y) = \left(\tfrac{x^2 y (x^2 + y^2 - 2)}{x^2 + y^2}\right)^2 +
\left(\tfrac{x y^2 (x^2 + y^2 - 2)}{x^2 + y^2}\right)^2 +
\left(\tfrac{x y (x^2 + y^2 - 2)}{x^2 + y^2}\right)^2 +
\left(\tfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\right)^2.</math>
  • Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.[2]
  • С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
  • Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по <math>l_1</math>-норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.[3]

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Проблемы Гильберта

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Hilbert, D. Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. Mathem. Annalen Bd 32, S. 342—350 (1888); см. также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 p.
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Семнадцатая_проблема_Гильберта&oldid=10777891