Русская Википедия:Сепарабельное расширение
Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля <math>E \supset K</math>, состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов <math>\alpha</math>, минимальный аннулятор <math>f(x)</math> над <math>K</math> для которых не имеет кратных корней. Производная <math>f'(x)</math> должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики <math>p</math>.
Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если <math>K \subset E \subset K^*</math>, где <math>K^*</math> — алгебраическое замыкание поля <math>K</math>, то <math>E</math> сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов <math>\sigma</math> поля <math>E</math> в алгебраическое замыкание <math>K^*</math> над <math>K</math> равно степени <math>[E:K]</math>. В случае несепарабельных расширений это число является делителем <math>[E:K]</math> и называется сепарабельной степенью <math>[E:K]_s</math> (частное равно некоторой степени характеристики).
Свойства сепарабельных расширений
Если расширения <math>E \supseteq K</math> и <math>F \supseteq E</math> сепарабельны, то и расширение <math>F \supseteq K</math> сепарабельно. Обратно, если <math>F \supseteq K</math> сепарабельно, то и <math>E \subseteq K</math> и <math>F \subseteq E</math> сепарабельны.
Если расширение <math>E \supseteq K</math> сепарабельно, то для любого расширения <math>F \supseteq K</math> (если <math>F</math> и <math>E</math> содержатся в каком-нибудь поле) Шаблон:Iw <math>EF</math> является сепарабельным расширением <math>K</math>.
Теорема о примитивном элементе: если <math>E=K(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)</math>, где <math>\alpha_1</math> алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над <math>K</math>, а <math>\alpha_2, \dots, \alpha_n</math> — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент <math>\theta</math> (называемый примитивным элементом), что <math>E=K(\theta)</math>.
Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения
Расширение <math>E \supseteq K</math> называется линейно свободным от <math>L \supseteq K</math>, если любое конечное множество элементов <math>E</math> линейно независимое над <math>K</math> остаётся линейно независимым и над <math>L</math>. Данное определение симметрично: если <math>E</math> линейно свободно от <math>L</math> над <math>K</math>, то и наоборот, <math>L</math> линейно свободно от <math>E</math> над <math>K</math>.
Расширение (не обязательно алгебраическое) <math>E</math> над полем <math>K</math> называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального <math>m</math> линейно свободно от расширения <math>K^{p^{-m}}</math> — порождённого присоединением всех корней степени <math>p^m</math> из элементов <math>K</math>. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа <math>m</math> данное определение не зависит и равносильно линейной свободе <math>E</math> от <math>K^{p^{-\infty}}</math> — композита всех <math>K^{p^{-m}}</math> (критерий Маклейна).
Литература
