Русская Википедия:Сепарабельный многочлен

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Сепарабельный многочлен — многочлен над полем <math>K</math>, все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля <math>K</math>.

Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен <math>P</math> сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной <math>P'</math>. Это последнее означает, что сам многочлен <math>P</math> (а не только его неприводимые над <math>K</math> сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны.

Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля.

Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в положительной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена <math>P</math> должно иметь место представление:

<math> P(X)=Q(X^p)</math>,

где <math>Q</math> — также неприводимый многочлен, а <math>p</math> — характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена, например, таков многочлен:

<math>P(X)=X^p-T</math>

над полем <math>K=\mathbb{F}_p(T)</math> рациональных функций от одной переменной <math>T</math> над полем из <math>p</math> элементов <math>\mathbb{F}_p</math>. Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении <math>T^{1/p}</math> к полю <math>K</math>):

<math>P(X)=X^p-(T^{1/p})^p = (X-T^{1/p})^p</math>,

иными словами, <math>T^{1/p}</math> является (единственным) корнем кратности <math>p</math>.