Русская Википедия:Серебряное сечение
| Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы | |
| Система счисления | Оценка числа δs |
| Двоичная | 10.0110101000001001111… |
| Десятичная | 2.4142135623730950488… |
| Шестнадцатеричная | 2.6A09E667F3BCC908B2F… |
| Непрерывная дробь | <math>2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\ddots}}}}</math> |
Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения. Наиболее последовательным является следующее:
- Две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей равно отношению большей величины к меньшей:
- <math> 19:08, 14 сентября 2023 (+04)\frac{b+2a}{a}=\frac{a}{b}~ </math>, где a - большее число, b - меньшее число.
- Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное <math>1+\sqrt{2}</math> или приблизительно 2,4142135623. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 71/29.
В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию en (Dynamic rectangle) Шаблон:Нп1. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.
Обозначим далее серебряное сечение через <math>\delta_S</math> (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:
- <math> \frac{b+2a}{a} = \frac{a}{b} = \delta_S\,.</math>
Это уравнение имеет единственный положительный корень. Шаблон:Сокрытие
Формулы
- <math>\delta_S = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414\, 213\, 562\, 373\, 095\, 048\, 801\, 688\, 724\, 210</math>. Это следует из <math>(\delta_S-1)^2=2\, . </math>
- <math>\delta_S = [2; 2, 2, 2, \dots] </math> — в виде цепной дроби:
- <math>
\delta_S = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\, . </math>
подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.
В виде бесконечных вложенных радикалов:
- <math>\delta_S = 2\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{4}+...}}} </math>.
- <math>\delta_S = \sqrt{1+2\sqrt{1+2\sqrt{1+...}}} </math>.
Другие определения
Встречаются и другие определения серебряного сечения.
Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:
- <math>[n; n, n, n, \dots]</math>.
Литература
- Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90-95, 252.
Примечания
Ссылки
- Explanation of Silver Means
- Шаблон:MathWorld
- Числа Пелля
- Пластическое число
- Золотое сечение
- Вера де Шпинадель (1999) The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts
Шаблон:Числа с собственными именами Шаблон:Иррациональные числа Шаблон:Золотое сечение
