Русская Википедия:Середина отрезка
Середина отрезка — точка на заданном отрезке, находящаяся на равном расстоянии от обоих концов данного отрезка. Является центром масс как всего отрезка, так и его конечных точек.
Координаты
Средняя точка отрезка в <math>n</math>-мерном пространстве, концами которого являются точки <math>A = (a_1, a_2, \dots , a_n)</math> и <math> B = (b_1, b_2, \dots , b_n)</math>, задаётся формулой:
- <math>\frac{A+B}{2}</math>.
Таким образом, <math>i</math>-я координата средней точки (<math>i=1, 2, \dots, n</math>) равна:
- <math>\frac{a_i+b_i}{2}</math>.
Построение
Если заданы две точки, нахождение середины образованного ими отрезка может быть осуществлено с помощью циркуля и линейки. Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.
С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка <math>(AB)</math> строится точка <math>C</math>, симметричная точке <math>A</math> относительно точки <math>B</math>; на втором шаге строится инверсия точки <math>C</math> относительно окружности радиуса <math>|AB|</math> с центром в точке <math>A</math>; полученная точка является серединой отрезка <math>(AB)</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn[1].
Можно также построить середину отрезка с помощью только линейки при условии, что на плоскости имеется окружность с отмеченным центромШаблон:Sfn.
Геометрические свойства
Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности. Теорема о бабочке утверждает, что если <math>M</math> является серединой хорды <math>PQ</math> и через середину проходят две другие хорды <math>AB</math> и <math>CD</math>, то <math>AD</math> и <math>BC</math> пересекают хорду <math>PQ</math> в точках <math>X</math> и <math>Y</math> соответственно таким образом, что <math>M</math> является серединой отрезка <math>XY</math>.
Центр эллипса является серединой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.
Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.
Перпендикуляры к серединам сторон треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности. Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центра описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса угла при вершине совпадают с прямой Эйлера и осью симметрии, и эта прямая проходит через середину основания.
Две бимедианы выпуклого четырёхугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке, которая является серединой этих трёх отрезковШаблон:Sfn. Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный в окружность четырёхугольник является ортодиагональным (то есть, имеющий перпендикулярные диагонали), то перпендикуляры к сторонам из точки пересечения диагоналей всегда проходят через середину противоположной стороны. Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.
Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон. В правильном многоугольнике с чётным числом сторон середины диагоналей, соединяющих противоположные центры, являются центром многоугольника. Серединный многоугольник — многоугольник, вершины которого — середины рёбер исходного многоугольника. Растянутый многоугольник серединных точек вписанного многоугольника Шаблон:Mvar является другим вписанным многоугольником, вписанным в ту же окружность, и его вершины являются серединами дуг между вершинами Шаблон:MvarШаблон:Sfn. Повторение операции создания многоугольника растянутых средних точек приводит к последовательности многоугольников, форма которых сходится к правильному многоугольникуШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Обобщения
Середина отрезка является аффинным инвариантом, поэтому координатные формулыШаблон:Переход применимы к любой аффинной системе координат.
Середину отрезка невозможно определить в проективной геометрии: любая внутренняя точка отрезка может быть проективно отображена в любую другую точку внутри (того же или любого другого) проективного отрезка. Закрепление одной такой точки в качестве середины определяет аффинную структуру на проективной прямой, содержащей этот отрезок. Четвёртая точка гармонической четвёрки для такой «средней точки» и двух конечных точек является бесконечно удалённой точкойШаблон:Sfn.
Понятие середины отрезка можно ввести на геодезических в римановом многообразии, но в отличие от аффинного случая, середина отрезка может быть не единственной.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Ссылки
- Animation — showing the characteristics of the midpoint of a line segment
- What is Midpoint Formula
