Русская Википедия:Сжимающее отображение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

Пусть на метрическом пространстве <math>(\mathbb{M}, \rho)</math> определён оператор <math>A: \mathbb{M}\to\mathbb{M}</math>. Он называется сжимающим на <math>\mathbb{M}</math>, если существует такое неотрицательное число <math>\alpha<1</math>, что для любых двух точек <math>x,y\in\mathbb{M}</math> выполняется неравенство

<math>{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}</math>.

Аналогичное определение для отображения.

Пусть <math>\left(\mathbb{M}, \,d \right)</math> — полное метрическое пространство (ПМП). Отображение <math>f\colon \mathbb{M}\to\mathbb{M}</math> ПМП <math>\mathbb{M}</math> в себя называется сжимающим, если существует <math>\alpha \in \left( 0, 1\right)</math> такое, что для всех <math>x, \, y \in \mathbb{M}</math> имеет место неравенство:

<math>{d\left(f\left(x\right),\, f\left(y\right)\right)\leqslant\alpha{\cdot}d\left(x,\,y\right)}.</math>

Число <math>\alpha</math> часто называют коэффициентом сжатия.

Если число <math>\alpha</math> равно 1, то есть отображение не сжимающее.

Теорема о сжимающем отображении

Пусть <math>\left(\mathbb{M}, \,d \right)</math> — ПМП. Пусть <math>A\colon \mathbb{M}\to\mathbb{M}</math> — сжимающее отображение <math>\mathbb{M}</math> в себя. Тогда уравнение <math>x = A\left(x\right)</math> имеет единственное решение <math>x^{\ast}\in\mathbb{M}</math>, причём

<math>x^{\ast} = \lim_{n\to \infty}X</math>

Свойства

• (Непрерывность) Пусть <math>(\mathbb{M}, \rho)</math> — метрическое пространство и <math>\mathbb{}A</math> — сжимающий оператор на <math>\mathbb{M}</math>. Тогда <math>\mathbb{}A</math> — непрерывная функция на <math>\mathbb{M}</math>.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

<math>\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}</math>.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент метрического пространства <math>x </math> и рассмотреть последовательность элементов <math> x, Ax, A^2x,....</math>, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке оператора <math>A</math>.

Применение

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.