Русская Википедия:Символы Кристоффеля
Си́мволы Кристо́ффеля (или кристоффели) — коэффициенты координатного выражения аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Эльвина Бруно Кристоффеля. Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.
Обычно обозначаются <math>\Gamma_{ij}^k</math>; иногда, следуя первоначальному обозначению Кристоффеля, используется[1] символ <math>\{\begin{smallmatrix} k\\ ij \end{smallmatrix}\}.</math>
Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся верхнему и нижнему индексам подразумевается суммирование.
История
Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (Шаблон:Lang-de — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже[1].
Элементарное понятие о символах Кристоффеля
Введение
Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние <math>{r}</math> от неё до полюса и угол <math>\varphi</math> направления от полярной оси.
Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: <math>({\rm d} r,\,{\rm d}\varphi)</math>.
Пусть есть вектор <math>\boldsymbol A</math> с компонентами <math>(a,\,\alpha)</math>, где <math>a</math> имеет геометрический смысл проекции вектора <math>\boldsymbol A</math> на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а <math>\alpha</math> — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).
Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.
Параллельный перенос вдоль координатных линий
При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние <math>{\rm d}r</math>, его компонента <math>a</math>, очевидно, не меняется, но вторая его координата (<math>\alpha</math>) уменьшается (рис. 1). Величина вектора <math>|A|^2= a^2 + r^2\alpha^2</math> остаётся неизменной, поэтому <math>a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2</math>. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):
При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты <math>a</math> и <math>\alpha</math> (рис. 2). Очевидно, <math>\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda</math>, <math>a=A\cos\lambda</math>, и <math>{\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi</math> поэтому:
Кроме этого, так как <math>a=A\cos\lambda</math>, <math>{\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi</math>, и <math>A\sin\lambda=r\alpha</math>, то
Параллельный перенос в произвольном направлении
При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и <math>r</math>, и <math>\varphi</math>) изменения компонент надо складывать:
Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.
В более общих обозначениях <math>x^1=r</math>, <math>x^2=\varphi</math>, <math>{A^1=a}</math> и <math>A^2=\alpha</math> можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):
Здесь символы Кристоффеля <math>{\Gamma^1_{22}=-r}</math>, <math>\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r</math>, а все остальные равны нулю.
В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.
Символы Кристоффеля первого и второго рода
Символы Кристоффеля второго рода <math>\Gamma^{k}_{ij}</math> можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов <math>\partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i}</math> по базису:
- <math>\nabla_{\partial_j}\partial_i = \Gamma^{k}_{ij}\partial_k.</math>
Символы Кристоффеля первого рода <math>\Gamma^{}_{n,ij}</math>:
- <math>\Gamma_{n,ij}=g_{kn}\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac12\left(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\right).</math>
Выражение через метрический тензор
Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты <math>x^i</math> могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,
- <math>\Gamma^i {}_{jk} = \Gamma^i {}_{kj},</math>
и того условия, что ковариантная производная метрического тензора <math>g_{ik}</math> равна нулю:
- <math>0=\nabla_\ell g_{ik} = \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell} - g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}.</math>
Для сокращения записи символ набла <math>\nabla</math> и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как
- <math>0=g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}.</math>
Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:
- <math>\Gamma^i {}_{k\ell}=
\frac{1}{2}g^{im} \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = \frac12 g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}),</math> где <math>g^{ij}</math> — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к <math>g_{ij}</math>, находится путём решения системы линейных уравнений <math>g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k</math>.
Инвариантные обозначения
Инвариантные обозначения для связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.
Пусть X и Y — векторные поля с компонентами <math>X^i</math> и <math>Y^k</math>. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением
- <math>\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right).</math>
Условие отсутствия кручения у связности:
- <math>\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]</math>
эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:
- <math>\Gamma^i {}_{jk} = \Gamma^i {}_{kj}.</math>
Замена координат
Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.
При замене переменных <math>(x^1, \dots ,x^n)\ </math> на <math>(y^1, \dots ,y^n)</math> базисные векторы преобразуются ковариантно:
- <math>\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k},</math>
откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:
- <math>{\bar\Gamma^k {}_{ij}} =
\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r {}_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^r}\, \frac{\partial^2 x^r}{\partial y^i \partial y^j}. </math> Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.
Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.
Символы Кристоффеля в различных системах координат
Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) <math>H_\beta</math>, а все остальные равны нулю.
Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:
- <math>\Gamma_{\beta\beta,\gamma} = -H_\beta H_\gamma \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}</math> при <math>\beta \neq \gamma,</math>
- <math>\Gamma_{\beta\gamma,\beta} = H_\beta \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}.</math>
Символы Кристоффеля второго рода:
- <math>\Gamma^\gamma_{\beta\beta} = -\frac{H_\beta}{H_\gamma^2} \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}</math> при <math>\beta \neq \gamma,</math>
- <math>\Gamma^\beta_{\beta\gamma} = \Gamma^\beta_{\gamma\beta} = \frac{1}{H_\beta} \frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}.</math>
Значения для распространённых систем координат:
- В декартовой системе координат <math>\{x, y, z\}</math>: <math>\Gamma^k_{ij} \equiv 0</math>, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
- В цилиндрической системе координат <math>\{r, \phi, z\}</math>: <math>\Gamma^1_{22} = -r</math>, <math>\Gamma^2_{21} = \Gamma^2_{12} = \frac{1}{r}</math>. Остальные равны нулю.
- В сферической системе координат <math>\{r, \theta, \phi\}</math>: <math>\Gamma^1_{22} = -r</math>, <math>\Gamma^1_{33} = -r \sin^2\theta</math>, <math>\Gamma^2_{21} = \Gamma^2_{12} = \Gamma^3_{13} = \Gamma^3_{31} = \frac{1}{r}</math>, <math>\Gamma^2_{33} = -\cos\theta \sin\theta</math>, <math>\Gamma^3_{23} = \Gamma^3_{32} = \operatorname{ctg}\theta</math>. Остальные равны нулю.
Вариации и обобщения
Разница двух аффинных связностей
- <math>\Gamma_XY=\nabla_XY-\tilde\nabla_XY</math>
является тензором. В случае если <math>\tilde\nabla</math> определяется в карте как связность в которой тензорные поля с постоянными компонентами параллельны, кристоффели <math>\Gamma^i_{jk}</math> являются компонентами полученного тензора <math>\Gamma</math>. В этом случае отсутствие кручения у обеих связностей влечёт симметрию тензора
- <math>\Gamma_XY=\Gamma_YX</math>.
Можно выбрать другую базовую связность <math>\tilde\nabla</math>. Например, объявив параллельным произвольное поле ортонормированных реперов; так это делается в методе подвижного репера. Поскольку в этом случае связность <math>\tilde\nabla</math> может иметь ненулевое кручение, то вообще говоря <math>\Gamma_XY\ne\Gamma_YX</math>. Однако поскольку обе связности римановы, выполняется другое, не менее полезное соотношение:
- <math>\langle \Gamma_XY,Z\rangle+\langle Y,\Gamma_XZ\rangle=0</math>.
Иначе говоря <math>\Gamma</math> является 1-формой на многообразии со значениями <math>\Gamma_X</math> в антисимметрических операторах на касательном пространстве.
См. также
Примечания
Литература
